Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
^vV+ VtxP - dfdtV + Ф^+ W + Ci5RxP = 0(11.51)
или, используя (11.48):
^vVtVtxV + OjaV^ + (е2с2/т\2 ± Ii2CVfi2) W+ Ci5RxV= 0, (11.51а)
^где Уе2/4?ф2±|я2 играет роль наблюдаемой массы т и согласно (11.20)
5R = + FllvFliv — 2 VaV?9. (11.52)
Не будем подробно обсуждать возможные физические следствия уравнения (11.51)*, обратим лишь внимание на то, что согласно (11.52) скалярное поле ф в уравнении (11.51) в значительной степени «дублирует» поле 4і*, т. е. опять приходим к доводу в пользу ветви 5-мерной теории 2.
В полностью геометризованной 5-мерной теории (ветвь 2) ^скалярное поле ф входит, во-первых, через физико-геометрический вектор CPjX, который при допущении, что All не зависит от X51 записывается в виде
^ 1 / дф 2 У к „ дф \ 1
*= V W * ^rJ ^ ^vi ф' ( }
и, во-вторых, как конформный фактор. В последнем случае также все производные от ф являются кл.и., т. е. взаимодействие скалярного и электромагнитного полей вводится автоматически при допущении, что из всех геометрических величин от X5 зависит только ф .Это означает отказ от условия цилиндричности по
* Впервые 4'-м'ерное уравнение Клейна—Фока было получено из уравнения (11.51) при а = 0, (1 = 0, G55=—1 и следующей зависимости xF от х5:
ч = г|? (л*1) ехр I(Icfh) тхъ].
S Зак. 4152 2 224 пятой координате, причем в теории должны использоваться не произвольные 5-мерные римановы пространства, а лишь такие, в которых зависимость от пятой координаты входит в метрику Gab в виде конформного фактора. Последнее реализуется в варианте в) выбора 4-метрики:
Gab Gab __ с2 G5^ с2 ґ .
Чдв =--т— ~ —г~~» ли — T=T ~п — — uH^
G55 Ф2 2 V^ 55 2Vk Sixv = ^nv — GlxsGvsZGbb = ф~2 (Glxv — GixsGv5ZGbb),
(11.54)
* А
где компоненты Gab не зависят от x5; Gss =— 1.
Такое обобщение условия цилиндричности по пятой координате назовем условием квазицилиндричности (по пятой координате). Можно показать, что оно соответствует использованию 5-мерных конформно-киллинговых римановых многообразий [см. (3.104)], когда имеется пространственно-подобный конформный вектор Киллинга удовлетворяющий уравнению
SGab - lA. в + л - (2/5) GAE&.C,
причем Ka выбрано вдоль
Возможность рассмотрения нескольких конформно-соответст-^вующих метрик позволяет ввести операторы ковариантного дифференцирования относительно символов Кристоффеля, образованных из разных метрик. В частности, запишем ковариантную производную от метрику варианта в) относительно исходных символов Кристоффеля T^v:'
^VIO= VJtel4vAP2) = -(^/ф)[ф,а + (2 Vk /С2) (11.55)
Тогда получим объединение 5-мерия с единой теорией гравитации и электромагнетизма Вейля [14, с. 513] (см. примечание в § 1.5). В (11.55) справа, как и у Вейля, стоит член, пропорциональный векторному потенциалу электромагнитного поля.
В рассматриваемом варианте 5-мерной теории 15 компонент «уравнений Эйнштейна» имеют вид:
4^V - (1/2) g^R + Acp^v = - (2kftf) [FmFS: -
- (1/4) ^/a?F0"5] + (З/Ф) (уІVv^ Ф - g^vivt'p) -
-(6/Ф2)У+Ф-У+Ф + З^Ф>5,5/Ф; (11.56)
= V-+<P-5 — 2 (1157)
v ф Vk V ф ф2 /
SrapVa Vр"ф - (1/6) ^cp- [(k/2Ci) FasFar' + 2cp!s/cp2] Ф + (1/3) Atp3 = 0.
(11.58)
S Зак. 4152 2 25 Сделаем несколько замечаний о виде и смысле этих уравнений:
1. В уравнениях (11.56) структура членов, содержащих ф и производные от ф, такая же, как в варианте теории прямого межчастичного гравитационного взаимодействия Хойла и Нарли-кара [199] (если в [199] положить гр = ф3/2 и заменить (1/6) R величиной (3/16)/?). К аналогичным уравнениям в скалярно-тен-зорной теории гравитации пришел Шерер [200] (если в [2UUJ положить г|) —ф3/2 и ?0 = 4/3), также опиравшийся на реляционную концепцию пространства-времени.
2. В уравнениях (11.57), соответствующих второй паре уравнений Максвелла, справа возникает источник типа плотности тока, так как производные по л:5 согласно (11.53) определяют заряд.
3. Кроме уже отмеченных в § 11.3 характерных черт уравнения (11.58) [уравнения (11.35в)] типа Клейна—Фока, укажем:
а) обобщенный даламбертиан от ф включает в себя стандартное взаимодействие ф с электромагнитным полем, если ф зависит от л:5 следующим образом:
Ф = ф (х*) ехр (і есхъ/2 Ii/k П); (11.59)
б) роль квадрата наблюдаемой массы в (11.58), если пренебречь космологическим членом, играет величина
mW/h* — [(ft/2с4) FapFap + 2ф%/ф2 + IRI6]; (11.60)
в) интересно, что согласно (11.60) зависимость от л:5 вида (11.59) при е, равном заряду электрона, приводит к вкладу в массу величины mx — e/2~\/k — 10~6 г (см. приложение).
4. С помощью 5-мерия в ветви 2 можно произвести как бы овеществление понятий (сугубо реляционных), вводимых в стандартной ОТО на базе монадного, диадного и тетрадного формализмов: идеализированных безмассовых приборов систем отсчета (им можно сопоставить скалярное поле), направлений распространения и векторов поляризаций, например, электромагнитных волн (им можно сопоставить электромагнитное поле, возникающее ИЗ компонент Gsjx).
5. Конкретное сопоставление ф волновым функциям заряженного скалярного поля 4і* изложено в приложении.
