Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
? = yh (D2 — DikDik + 3jR) = (в/а) (а2 — a2) sin2 х1 sin Є.
Произведя интегрирование по всему пространству, находим: лл2л g . 12jlai
L=Tff —(а2 — a2) sin2 х1 sin Qdx' dQ dcp = .-г
І t Oa а
Отсюда получаем референционный импульс
р — dLjdTa = 24л2а, где дта == afay и референционный гамильтониан
Я = (а/а) P-L = (1 /48л2) p2fa + 12л2а.
(а2 — в2). (10.68)
(10.69)
(10.70)
В квантовой модельной теории де Витта [184] вводится функционал состояния мира в а-представлении 4F(а); импульс р, как обычно, заменяется оператором: р-ид/да. После этого дираковскую гамильтонову связь можно представить следующим образом:
/1 д 1 тд 1 \
— 12л2а ) Y = —:
48л2а1/4 да У а да а
1/4
ZiVm1I*,
(10.71)
где выбран специальный вид упорядочения операторов а и д/да и введено обозначение Nm = Tyiv T^rv. Произведя замену х=аг/2 и CP=4Pyr dajdx=
— уЛ 2/3 Wfa1Ji, приводим (10.71) к виду уравнения Клейна—Фока со специальным потенциалом
(3/64л2) д2Ф/дх2 — \2л2х2/3Ф = — кМпФ.
(10.72)
Суперпространство обобщенных моделей Казнера, описываемых метрикой (6.49). Оно 3-мерно, так как на четыре параметра: а, ?n, ?22, ?33 наложено одно условие (6.50). Будем использовать независимые параметры а, ?+, ?-. Учитывая вид смещений dl^ согласно (6.51),
211: можно показать, что (первичное) суперпространство 5 состоит из точек, образующих заштрихованный на рис. 22 цилиндрический сектор.
Гамильтонов формализм для данных моделей удобно строить на основе метрики при смещениях Тогда метрический тензор имеет компоненты:
Рис. 22. Суперпространство обобщенных моделей Каз-нера
hII = ехр (2а + 2?u); Zi22 = ехр (2а + 2?22); h33 = ехр (2а + 2?33);
"і/й" == ехр (За). (10.73)
',Плотность лагранжиана
? = ехр (За) [6 ( а2 - р2 - Pi) + V], (10.74)
где V соответствует скалярной 3-мерной кривизне. Отсюда находим три импульса !согласно (6.49) To=IJ:
р± = d~Xjd$± = 12 ехр (За) ?±; ра = 12 ехр (За) а. (10.75)
В этих переменных плотность гамильтониана выглядит просто:
H = ехр (За) [(ехр (- 6а)/24) (р2а-р2+-р2_) _ V] (10.76)
и напоминает гамильтониан частицы с временно-подобной координатой а и двумя пространственно-подобными координатами: ?+ и ?_.
В квантовой модельной теории Мизнера [101] вводится функционал состояния Вселенной 1F (а, ?+, ?-), а импульсы заменяются операторами: Pa = ід/да, p± = id/d?±. Тогда вторичная гамильтонова связь приводит к волновым уравнениям Мизнера
(д2/да2 — д* — d2/d?L + V) W = 0. (10.77)
Параметр а здесь рассматривается как время.
При построении квантовых модельных теорий возникает множество вопросов. Так, модели де Витта и Мизнера можно понимать как первые два звена в цепочке квантовых моделей миров со все меньшей и меньшей симметрией. 'Однако эти теории пока не дают конструктивного способа дальнейших обобщений, необходимых для перехода к другим звеньям. Не ясен смысл функционала состояния. Он должен описывать мир как единое целое. Каков его смысл, если не существуют внешние классические измерительные приборы? Можно было бы поставить и другие вопросы (см. [101, 183, 184]), но подробное обсуждение их выходит за рамки этой книги.
212: ЧАСТЬ IV
РАЗМЕРНОСТЬ ФИЗИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
Глава 11 КАЛИБРОВОЧНО-ИНВАРИАНТНАЯ 5-МЕРНАЯ ТЕОРИЯ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
11.1. 5-МЕРИЕ И МОНАДНЫЙ МЕТОД
Неоднократно подчеркивались многочисленные аналогии между теориями электромагнетизма и гравитации. По-видимому, существует глубокая связь между электромагнетизмом и гравитацией, основанная на фундаментальных понятиях и свойствах прообраза классического пространства-времени, ответственных за классические понятия, такие как метрика, свойство частичной упорядоченности, размерность и др. Замеченные аналогии, скорее всего, следует воспринимать как проявление этих глубинных закономерностей, пока еще в достаточной мере не разгаданных.
Признание тесной связи между гравитацией и электромагнетизмом вызвало в 20—40-х годах настойчивые попытки объединить эти две теории в единое целое. Поиски единой теории гравитации и электромагнетизма осуществлялись широким фронтом. Наибольшее внимание привлекли три направления: 1) единые теории на основе 4-мерных дифференциальных геометрий, более общих, нежели риманова: теории Вейля [14, с. 513], Эддингтона [25] и другие, где использовались многообразия с сегментарной кривизной и с кручением; 2) единые 4-мерные теории с несимметричной метрикой (теории Эйнштейна [18]), которые, по-видимому, сводятся к геометриям с кручением; 3) теории на основе римановых 5-мерных пространств*. На наш взгляд, последнее направление исследований привело к созданию наиболее красивой и содержательной схемы, объединяющей две теории.
Было предложено несколько вариантов 5-мерных теорий. К классическим результатам этого направления следует отнести естественное введение напряженности электромагнитного поля, а также получение известных уравнений Эйнштейна с правой частью в виде тензора энергии-импульса электромагнитного поля, уравнений Максвелла и уравнений движения заряженных частиц в искривленном пространстве-времени. Был достигнут несомненный
