Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
M2 = PvP + pik+dThik-%v = P11T*+ (1/? УЙ" ) [(1/2) f - pikpik]-
-T0Vh3R. (10.256)
Плотность референционного гамильтониана отличается от плотности координатного гамильтониана (10.30а), в частности, отсутствием члена, пропорционального вторичной продольной связи. Это получилось вследствие замены частной временной производной Ко монадной производной +dThlk-
Канонические уравнения для переменных X119Pil тривиальны:
+O7Pil = — SM2Idx11 = 0; дтх* = SM2IbPll = T*. (10.33)
Половина из оставшихся шести пар канонических уравнений эквивалентна шести уравнениям Эйнштейна
+dTpih = — SMJbhik Gik = 0, (10.266)
201: а другая половина
+dThik = Ш2/0Рі
(10.276)
совпадает с соотношениями (10.236).
Сформулируем выводы.
1. Как референционный, так и координатный канонические формализмы ОТО приводят к записи шести пространственно-спроектированных уравнений Эйнштейна в виде половины канонических уравнений. Вот почему эти уравнения Эйнштейна часто называют динамическими.
2. Оставшиеся четыре уравнения Эйнштейна в рассмотренных формализмах имеют различный характер. В координатном каноническом формализме они являются дираковскими вторичными уравнениями связи для оставшихся шести пар переменных, тогда как в референционном формализме они представляют собой первичные связи для четырех импульсов. Возможность выражения этих импульсов через оставшиеся шесть пар динамических переменных следует из вида плотности гравитационного лагранжиана и того, что вариационная производная по ^ в принципе не может привести к дифференцированию по времени.
3. В гамильтоновой формулировке ОТО четыре составляющие метрического тензора т^1 оказались выделенными. С помощью монадного формализма можно четко физически интерпретировать их как 4-скорости системы отсчета. Эти величины, как уже отмечалось, позволяют относить физические и геометрические величины к используемой системе отсчета — описывают отношения физических сущностей в пространстве-времени — и, следовательно, не могут служить динамическими гравитационными переменными, т. е. в ожидаемом квантовом варианте теории гравитации (в третьем подходе) не должны квантоваться.
10.5. ВЫДЕЛЕНИЕ ДВУХ ПАР ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ С ПОМОЩЬЮ ДИАДНОГО МЕТОДА
Из оставшихся шести компонент 3-мерного метрического тензора hih и сопряженных им импульсов следует устранить еще четыре «лишние» пары сопряженных величин так, чтобы остались лишь две пары сопряженных динамических гравитационных переменных. К выводу, что должно остаться именно две пары динамических переменных, можно прийти различными путями, например исходить из соображений жесткости уравнений Эйнштейна и задачи Коши (см. гл. 12) или руководствоваться следующими соображениями [174]: для 12 величин hih и Pm имеют место четыре вторичные уравнения связи (10.28), (10.29); кроме того, можно использовать четыре координатных условия. В итоге получим: 12—4—4 = = 4 = 2X2, т. е. две степени свободы. Однако непосредственное формальное решение вторичных уравнений связи (четыре уравне-
202: ния Эйнштейна в референционном подходе) представляет собой сложную, не решенную в общем случае задачу.
В этих условиях следует опираться на дополнительные соображения, позволяющие прояснить сложившуюся ситуацию. Такую возможность предоставляет использование диадного метода.
Диадный метод и динамические переменные. Учтем, что на классическом уровне динамическими переменными описываются волновые гравиинерциальные процессы, которым можно сопоставить изотропный волновой вектор № = со (т^ ± №) . Таким образом, в любой системе отсчета волновой процесс характеризуется пространственным направлением распространения Zm". Воспользуемся этим и в нормальных системах отсчета перейдем от шести компонент hih к набору диадных составляющих Iі и в кинеорометрической калибровке. Это позволит интерпретировать возникающие в рассматриваемом формализме величины.
Построим референционный канонический формализм ОТО в диадном виде. Выразим плотность гравитационного лагранжиана (10.21) через диадные физико-геометрические величины и операторы. В кинеорометрической калибровке
Xr9 = Vi VV [O2 - DlY] E^ - 2DD-2dLd + 2 (A6 + (A6 + ql) + + d2 _ ^ fii -2(^ + /g) /* + 2R]. (10.34)
Все, что касается четырех величин т^1, оставим без изменений, как в § 10.4. Сосредоточим внимание на других шести составляющих метрического цензора. Выберем в качестве обобщенных координат величины kl± = і1 ± I1 и Y^n. Тогда обобщенными скоростями будут:
+?? = ± (2Л1 — IiD)- ++дту1п = — 2&\ (10.35)
Так как = 0, определенные таким образом скорости для
я± совпадают со скоростями, сопряженными второму вектору диады Iі. Обобщенные импульсы находим обычным образом:
я± = Ш^/д(дтк^) = ± 2 V—g Д
щ± = o^rp/o(+ Y! +dTf) = ± 2 V~g{H +
Pzn = dXJd (+W1) = V~g ФІУ] + Tg4D - Yfe4S).
(10.36)
Определяя для этих переменных плотность референционного гамильтониана, запишем три пары продольно-поперечных и продоль-
ных канонических уравнений*:
* Три пары канонических уравнений (10.37), (10.38) соответствуют канонической системе для изотропного излучения в приближении геометрической оптики [144]: dk'^dr= — OHjdxi- OxiJdr = OHfdki.
