Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Go5 = ^00Oc05 — а50а55 — (rg/r) сс00а05; G55 — ^o5 — ^h — (rg/r) Cc205.
(11.72)
Наложим на коэффициенты линейного преобразования (11.71) два естественных условия: Iimgroo= 1, IimG55=: —1, кото-
t-*- oo г-*- oo
рые соответствуют следующим:
а00аЪЪ — а0ЬаЬ0 = ± 1 ; Cti5 -CCo5 = 1 . (11 .73)
Тогда
Ф2 - 1 + <*05 — ; O1 =
2 rZ . Пл а05
Г
2(1 + (re/r)ag6)
F„
(11.74)
2 Vk r2 [1 + W205I2 "
Отсюда следует, что значение возникшего электрического заряда q связано с коэффициентами линейного преобразования:
q = — (V2/2 Vk) Ct05Ct55, т. е. а05а55 = — q/M У~к. (11.75)
Из (11.73) и (11.75) находим значения двух коэффициентов:
aO5 - (1/2) (У 1 + 4?2/Ш2 - 1) ; als = (1/2) (УI + 4q*/kM* + l).
(11.76)
Пространственно-временная метрика в варианте в) имеет вид:
229: , 2 (I-Vr) t 2 ^2
as2 = ----z—z- dx0----9——
[1 + (rg/r) CC205]2 (1 -TgIr) [1 + (TgIr) Obg5]
_ r2 (d62 + Sin2 Qdy2)
1 + (Tglr) a2
(11.77)
^05
Сделаем некоторые выводы и замечания:
1. Линейное преобразование (11.71) вместе с переходом в новую «обобщенную систему отсчета» физически означает введение в центральный источник электрического заряда q, пропорционального массе источника My причем коэффициент пропорциональности определяется коэффициентом линейного преобразования Oos. При (Хо5 = 0 преобразование (11.71) не выводит нас за пределы «обобщенной системы отсчета» и электрическое поле не появляется.
2. Используя тетрадный (пентадный) метод в калибровке Ламе, находим, что наблюдаемая напряженность кулоновского поля имеет вид Er^ (q/r2)[l —(Tg/2T)a%5]9 причем здесь использованы не координаты кривизн.
3. Возникшее электрическое поле порождает напряженность скалярного поля Фь которое также определяется электрическим зарядом центрального источника.
4. Более общее решение, зависящее от трех констант, можно получить аналогично из метрики (11.62).
5. Можно показать [201], что точные решения 15 уравнений поля с зависимостью ф от пятой координаты получаются из известных решений стандартных уравнений Эйнштейна с космологическим членом. Действительно, из структуры уравнений (11.56) — (11.58) следует, что зависимость ф от пятой координаты должна иметь вид: ф = ф(*°, х\ X2y х3)ехр(ахъ)у где а — постоянная. Рассмотрим случай, когда электромагнитное поле отсутствует, A = O и ф = ехр (си:5). Тогда (11.57) выполняется тождественно, уравнения (11.56) принимают вид стандартных уравнений Эйнштейна с космологическим членом
^v _ (1/2) gJR - За^v = 0, (П .78)
a (11.58) следует из (11.56). Известно много решений этих уравнений [91]. От них можно перейти к решениям системы уравнений (11.56) — (11.58) с отличным от нуля электромагнитным полем и ф, зависящим от пятой и пространственно-временных координат, например, с помощью преобразований (11.71).
11.6. ОДНОРОДНЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В 5-МЕРНОЙ ТЕОРИИ
Рассмотрим однородные изотропные космологические модели в двух ветвях 5-мерной теории: 1) с внешним тензором энергии-импульса материи Qab и 2) в сугубо геометрической теории
231: Предположим в обеих ветвях, что в целом материя, заполняющая пространство, электрически нейтральна, т. е. Qs = Q55 = 0 , 5-метрика цилиндрична по пятой координате, Fllv = 0. Кроме того, положим A = O. Согласно соображениям, изложенным в предыдущих параграфах, выберем вариант в) метрики 4-мерных пространственно-временных сечений. Тогда метрику следует искать в виде
d/2 - ф2 GABdxAdxB = ф2 {a2 \dxl — dx\ — QjJ2 ^1) (do2 +
+ sin2 0йф2) j — dxt^j, (11.79)
где а и ф — функции от X0. Представим ф в виде ф = ехр(Ф); Ф = Ф(х°). Уравнения (П.ЗЗв) — (11.35в) записываются следующим образом:
4^v - (1/2) g^R = 3 (v,v Ф - g^VaVp®) - 3 (у,фу Ф +
+ + (11.80)
?^VaV?® + g^Va^V?® - (1/6) 4^ = 0. (11.81)
В ветви 1 выберем тензор энергии-импульса пылевидной материи, который в сопутствующей системе отсчета имеет компоненты:
Tlivт»*» = рс2; TllvTVfil = 0; TlJtt hi = 0, (11.82)
где р(х°) — плотность материи.
а) Закрытые однородные изотропные модели. Используя формулы § 6.1—6.3 для монадных 4-мерных величин, находим обладающие нетривиальным содержанием компоненты уравнений (11.80), (11.81) [соответственно проекции (11.80) на W9 Kthl и (11.81)]:
*
1 + a2/a2 = — ЗФ а/а — 2Ф2 + xpc2a2/3; (11.83а)
— 1 + a2/a2 — 2а/а ЗФ ЗФ а/а + ЗФ2; (11.84а)
1 + а/а = — Ф — 2Ф а/а — Ф2. (11.85а)
Начнем с решения уравнений, общих для обеих ветвей.
Произведя замену а ехр Ф = ехр jli, уравнение (11.85а) приводим к виду
+ і = о (11.86а)
Его решение есть
ехр IX = A sin (Xg + C1), (11.87а)
где А и С) — постоянные интегрирования. В дальнейшем будем считать, что начальная фаза Ci = O.
231: Умножим (11.85а) на 3 и сложим с уравнением (11.84а). Тогда, вводя обозначение a/a = z и используя (11.87), находим:
г — г2 + 2 - — Згctg*0. (11.88а)
Из множества решений этого уравнения выделим два, представляющих наибольший интерес:
Zi - ctg -> а - а0 (1 — cos*0); <р = — ctg— ; (11.89а)
2 G0 2
