Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
са и, переводящим [х] в [V]. Преобразование арифметической я-области [х] называют регулярным класса и тогда и только тогда, когда оно взаимно однозначно и его якобиан не обращается в нуль ни в одной точке [х].
Множество допустимых систем координат определяется как совокупность систем координат, получаемых из физически заданной системы координат посредством всевозможных регулярных преобразований х'^ = Xr^ (ха). Такие преобразования, связывающие допустимые системы координат, обычно также называют до-пустимыми.
Легко видеть, что два последовательно произведенные допустимые преобразования образуют также допустимое преобразование координат. Каждое допустимое преобразование имеет обратное допустимое преобразование Xа = Xа (хг^). Следовательно, совокупность всех допустимых преобразований координат образует группу. Все допустимые системы координат равноправны, и если это особо не оговорено, то несущественно, из какой системы координат этого множества нужно исходить.
В этой главе будем опираться лишь на сам факт наличия системы координат, а следовательно, и целого множества допустимых систем координат. Этого достаточно для изложения геометрии искривленного (риманова) многообразия, введения основных уравнений ОТО и обсуждения их математических свойств.
1.2. КОВАРИАНТНЫЕ И КОНТРАВАРИАНТНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Рассмотрим величины, при помощи которых описываются свойства пространства-времени в различных точках и характеристики находящейся в них материи. Не будем пока углубляться в обсуждение вопросов, связанных с наличием двух типов объектов: пространственно-временных и материальных. Отложим на будущее также попытки сведения всех объектов к одному типу, например геометризацию электромагнитного и других полей. В сов-ременной ОТО имеются объекты двух типов, причем ;они характеризуются математически одинаковыми величинами /
Пусть для описания свойств каких-либо объектов необходимо сопоставить наборы из т чисел ?(s|x) или отдельным точкам пространства-времени, или каждой точке некоторой области. В последнем случае говорят о задании поля величин. Какие же из бесконечного множества возможностей задания наборов чисел следует предпочесть? Вспомним, что сами точки пространства-времени можно нумеровать посредством бесчисленного множества допустимых систем координат, преобразования между которыми образуют группу. Естественно, что наборы чисел B(s\x) должны зависеть от нумерации точек и изменяться при переходах к новым координатным системам. Отсюда следует преимущественность таких наборов чисел ?(s|x), которые при допустимых преобразованиях координат изменяются также по групповому закону. Оказывается, наборы таких величин удовлетворяют следующим условиям.
1. Число величин т в наборе должно быть целой степенью размерности пространственно-временного многообразия: m = 4N. Это принято изображать совокупностью N буквенных индексов (будем использовать греческие буквы, пробегающие значения 0„ 1, 2, 3). Например, В (р\х) (р) состоит из четырех чисел, B(\xv\x) содержит 16 компонент и т д. В дальнейшем будем опускать обозначение точки, где определены наборы величин. Число N буквенных индексов называют рангом.
2. Существует только два закона группового преобразования, наборов величин, соответствующих группе допустимых преобразований координат {х}—*{х'}:
Преобразующиеся таким способом величины называют тензорами. Тензоры, преобразующиеся по первому закону, называют контра-вариантными (индексы пишут сверху), а по второму закону — ко-вариантными (индексы пишут снизу). Возможны смешанные тензоры произвольного ранга. Тензор нулевого ранга называют скаляром (число, которое не изменяется при преобразованиях координат); тензор первого ранга называют вектором. Простейшим ; примером контравариантных векторов является набор из тиф-іференциалов самих координат, а примером ковариантных векто-I ров могут служить компоненты градиента скаляра.
Для упрощения записи принято не писать знаки суммы и подразумевать суммирование всякий раз, когда встречаются два одинаковых индекса. Так, закон преобразования произвольного тензора принимает вид:
. .B^"';D'oc?.) дхх дх° дх'а дх'У rfip... /11ч
BnV.. . V=--• • • -A--• • -d^g - '
\ dx'V dx'v дх6 дх?
Всякий дважды встречающийся индекс, часто называемый «немым», можно заменить любым другим. t
В множестве тензорных величин определены три операции.
1. Операция сложения и вычитания тензоров одинакового ранга и одинаковой ковариантности, т. е. с одинаковыми числами соответственно ко- и контравариантных индексов.
2. Операция внешнего произведения двух и более тензоров. В результате получается тензор, ранг которого равен сумме рангов слагаемых тензоров.
3. Операция внутреннего произведения тензоров Aliv' "Bliaim _ = = Ca.:: приводит к тензору, ранг которого равен сумме рангов слагаемых тензоров минус удвоенное число немых индексов.
Для установления трансформационных свойств величин полезна строгая теорема частного: «Величина, при внутреннем умножении которой на произвольный вектор получается тензор, является тензором».