Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Для параллельного переноса ковариантиых векторов естественно положить:
Bll (X + dx) = Bll (х) - Ko»dx°Ba (х)9 (1.22)
где Kcii — коэффициенты связности, определяющие перенос ковариантиых тензоров. В римановой геометрии требование равенства длин векторов в обеих точках означает, что Koii= —Tov •
Выясним геометрический смысл возможной антисимметричной составляющей коэффициентов связности. Для этого перенесем смещение AC вдоль ox^x (см. рис. 1). Тогда точке С будет соответствовать точка Dr с координатами Xix + бл:^ dx^, где dx^ выражается формулой вида (1.18). Эта точка в общем случае несовпадает с точкой D. Компоненты отрезка DDr
(DDT = + dx? + - № + ^ + dp) =
= № - KZ?) dxaox? = 2S$adxaox?,
где согласно строгой теореме частного
Sgp = (1/2) (/Cgp-Kfc) (1.23)
является тензором и называется тензором кручения.
Таким образом, в пространствах с кручением точки DuD' не совпадают во втором порядке малости, т. е. в этом приближении нарушается правило параллелограмма.
Взглянем на изложенное с позиций более общих дифференциальных геометрий Схоутеиа [24], в которых ковариантный дифференциал есть однородная линейная функция как относительно дифференцируемой величины, так и относительно перемещения, а для
20операции ковариаитиого дифференцирования выполняются свойства ¦я)—в) ковариаитных производных.
Дифференциальные геометрии, удовлетворяющие этим требованиям, полностью характеризуются тремя тензорными величинами:
тензором кручения 5?;
разностью коэффициентов связности, определяющих дифференцирование ко- и контравариантных тензоров,
Ка$ — Ка$ = Waft', (1.24)
ковариантной производной (относительно связности /?) метрического тензора
a = Qwo, (1.25)
которая в общем случае отлична от нуля *.
Каждая из этих трех характеристик может быть нормальной, вырождающейся или нулевой. Таким образом, приходим к выводу о возможности 33 = 27 типов дифференциальных геометрий. Ри-.маиова геометрия, которая используется для описания теории гравитации, является простейшей из них, когда все три тензорные характеристики (схоутены) обращаются в нуль.
1.6. ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ И ЕГО СВОЙСТВА
Введем важную характеристику римановой геометрии, строящуюся с участием вторых производных от метрического тензора,— тензор кривизны. Это можно сделать несколькими способами. Выберем наиболее непосредственный, формальный. Проком-мутируем операторы ковариантного дифференцирования, действующие на произвольный вектор Ba:
I \
d р _ [ OCILL___gV . га ГЛ Га Г ^ R _
а\ v; JLX jlx; v — I ^v " ^jli г 1 ар,1 av * av1 ajit J 1^k —
= ^Bkt (1.26)
где
^avlX - dfaJdxV - dTtv/dx» + Г^ц r;v - Tav Tav (1-27)
согласно строгой теореме частного является тензором. Он называется тензором кривизны четвертого ранга или тензором P и мана Кристоффеля. Верхний индекс будем считать первым, так что
¦Ra,BJLIY = -RpJLivg-Xa.
* Геометрии с Qjbiva =?= О использованы Венлем [14, с. 513] и Эддиштоном [1, 25] для построения единой теории гравитаиии и электромагнетизма. В теории Веиля QjLiva ~ ^млИа» г"е ^o с точностью до множителя представляет собой векторный потенциал электромагнитного поля (см. § 11.4).Тензор Римаиа — Кристоффеля обладает следующими свойствами:
1. Из формулы (1.27) непосредственно видно, что
-R-OSVlLl = - R OCfXVy Ra?fXV = - Ra?V|Ll- 0-28)
2. Раскрывая в (1.27) символы Кристоффеля через производные от метрического тензора, можно убедиться, что
Ra?iLiv = — R?cqLiv. (1 -29)
3. Аналогично можно показать, что
Ra?iLiv = RjLiva?. (1.30)
4. Используя локально-геодезическую систему координат, легко доказать тождество Риччи
RaviLi + R-ILiav + R-VJLia — 0. (1.31)
5. Кроме перечисленных алгебраических свойств имеют место дифференциальные тождества Бианки
R olv\x\ о + R •aov, |Li + R •ajLia; v — (1.32)
Их также легко доказать с помощью локально-геодезической системы координат.
Используя свойства симметрии (1.28) — (1.31), можно показать, что в многообразии п измерений в общем случае число алгебраически независимых компонент тензора Римаиа — Кристоффеля N=(\/\2)n2(n2—\).
Параллельно перенося тензоры из произвольной точки А в точку D вдоль различных сторон параллелограмма (см. рис. 1), легко убедиться в том, что тензор Римана — Кристоффеля определяет разность компонент тензоров, перенесенных из одной точки в другую (близкую) двумя разными путями:
п
А; :(/>) = - (1/2) z&cc?JA:: :ds™ - . . . +
+ (1/2)R^B^;;;dsOK+ . . . (1.33)
где dsOK = dx°Sxk — dx*ox° —площадь параллелограмма ABCD (ABCDr). Равносильно утверждение, что тензор кривизны определяет разность компонент тензоров: исходного и после переноса
по замкнутому контуру *
Тензору Римана — Кристоффеля можно сопоставить, произведя свертку по двум индексам, тензор кривизны второго ранга:
* Можно развить теорию искривленного многообразия, выбирая в качестве первичного понятия перенос по бесконечно малому замкнутому контуру — перемещение, ассоциированное с циклом [26]. Такие формулировки ОТО развивались в работах [27, 28] и др.