Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Тензор Bixva называют симметричным по индексам р и v, если Bliva = Byjyia = BlX1Sja. Тензор Aykva называется антисимметричным по индексам р, и V, если A^va = —Avixa- Aixva. Любой тензор с двумя индексами одинаковой ковариантности можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного по этим индексам тензоров. Внутреннее произведение по двум парам индексов симметричного (по этим индексам) тензора на антисимметричный (по этим же индексам) равно нулю.
Особый интерес представляют антисимметричные по всем индексам тензоры ранга, равного размерности многообразия. Рассмотрим в 4-мерном многообразии такой тензор ?a?YO. Очевидно, что все его компоненты с хотя бы двумя совпадающими индексами равны нулю. Остальные компоненты четной или нечетной перестановкой индексов можно привести к компоненте B^vzi = B. Следовательно, все 256 компонент тензора Ba^y6 принимают одно из трех значений: +B1 0, —В. Представим этот тензор в виде
Ba^ = Beany6, (1.2)
где ett?Y6 — антисимметричный по всем ищексам символ JIeeu-Чивиты с компонентами
( + 1, если компоненты приводятся к комбинации 0123 четным числом перестановок; Crx?Y6 = 0, если есть совпадающие индексы;
— 1,*если компоненты приводятся к комбинации 0123 нечетным числом перестановок Символ Леви-Чивиты (не являющийся тензором) чрезвычайно полезен при построении детерминантов произвольных величин Bixv (не обязательно тензорных). Легко убедиться, что определитель Il Bliv Il записывают с его помощью в виде /
Il ^v !I = (1.3)
В частности, якобиан преобразования координат представляется следующим образом:
л, 1 дх'» dx'v дх'к дх'° п .V
(1.4)
Величина В в (1.2)—не скаляр. Она преобразуется по закону B'=fB.
1.3. МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР
Важным элементом пространственно-временных отношений между событиями (точками) является метрика*. Она означает, что в множестве точек-событий определена действительная двухточечная скалярная функция Cf (х, у), где х и у — две точки. Эта функция обладает свойствами:
3 (х> У)-Cfiy1 X); J (х9 je) = 0. (1.5)
Можно было бы развить теорию, опираясь на глобальное задание метрических отношений. Элементы этой теории можно найти в книге [5], где метрическая функция Cf (х, у) названа мировой функцией. Однако целесообразно исходить из инфинитезимально-го задания метрики, т. е. ее определения для двух бесконечно близких точек. Тогда эта функция называется квадратом интервала и записывается в виде
ds*=g?vdx»dx\ (1.6)
где dx^ — разность координат двух близких точек. Коэффициенты — функции координат — определяют метрические свойства пространства-времени. С помощью строгой теоремы частного
* Еще Риман ставил вопрос «о внутренней причине возникновения метрических отношений в пространстве». При этом он писал: «Этот вопрос, конечно, также относится к области учения о пространстве, и при рассмотрении его следует принять во внимание сделанное выше замечание о том, что в случае дискретного многообразия принцип метрических отношений содержится уже в самом понятии этого многообразия, тогда как в случае непрерывного многообразия его следует искать где-то в другом месте» [14, с. 32]. Скорее всего, классические метрические отношения обязаны принципам квантовой механики. Именно атомно-молекулярная структура твердых тел позволяет говорить об измерении длины и времени. По-видимому, можно высказать более сильное утверждение, что постулаты квантовой механики как в теории Бора, так и в современной квантовой теории следует рассматривать как заменяющие постулаты метрических отношений. легко показати, что g^ является ковариантным тензором второго ранга. Очевидно, что (1.6) представляет собой простейшее выражение для ^етрической функции между близкими точками, удовлетворяющее (1.5) *.
Представим мртрический тензор g^v в виде суммы симметричной и антисимметричной частей: Siliv — Sr^v + Srlllv. Величина
dx^dxv в (1.6)—симметричный тензор второго ранга. Следовательно, для определения квадрата интервала (метрики) антисимметричная часть метрического тензора несущественна **, поэтому без ущерба для общности следует считать метрический тензор симметричным. Это значит, что в общем случае g имеет десять различных компонент. [В многообразии п измерений различных компонент может быть (1/2) n(n-f-l).]
Метрическому тензору g?v сопоставляется контравариант-ный тензор
^v = AlXvfef (1.7)
где g= Il Silw Il —определитель матрицы Jgrjliv }; Ajuv — алгебраическое дополнение соответствующего элемента матрицы g . Внутреннее произведение = определяет смешанный
метрический тензор, имеющий одинаковые компоненты во всех системах координат (символ Кронекера):
v _ Jl, если а-vi ^gv п 8ч
° ~ \0, если G =^= vj ( -o)
При помощи метрического тензора произвольным тензорам однозначно сопоставляются тензоры противоположной ковариантности, например: Bv -> Bix = Bvg^v; B0 -> Bv = Bfgav и т. д.
Квадрат интервала (1.6) представляет собой квадратичную форму, а по основной теореме о квадратичных формах в алгебре всякую квадратичную форму с действительными коэффициентами можно привести некоторым невырожденным линейным преобразованием с действительными коэффициентами к диагональному виду. Следовательно, в любой точке допустимыми преобразованиями координат метрический тензор можно привести к виду g =. = ± 6jlxv. Такие системы координат называют локально-декартовыми. Их бесконечно много.
