Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
8 Зак. 409 2 25
ГЛАВА 13
даемся в соотношениях, которые используются лишь для больших |о-]
Из выражений (13.21) и (13.22) следует, что величина
"-J(13.23) R [Г., (9, к.
зависит только от параметра щ, а именно
Ur = [F2(0, и,)]2' • (13.24)
(Введенная здесь величина uR не совпадает с uR из гл. 9, однако они
играют сходную роль - обе выступают как постоянные перенормированного
взаимодействия.) Легко проверить, что для малых значений величины U\
функция Т'ДО, Ui) линейна по "ь в то время как функция /^(О, ui) является
некоторой постоянной. Следовательно, в первом приближении величина uR
линейна по щ. Таким образом, фиксируя величину цд, мы фиксируем и
величину щ.
Формула для функции ф("о> К) выглядит теперь так:
¦ (".-xHtsHJ1. <13-25"
Поскольку высокотемпературное разложение дает значение величин uR(K, "о)
и 1о(К, "о), то в этой формуле необходимо перейти от переменной К к
переменной uR. Производную (13.25) можно выразить с помощью производных
по параметрам "о и К, рассматриваемых как независимые переменные, в итоге
это дает
duD ( <?ln?n duD dlngn duD "I-1 ф("0, К) = ^Щ- { qUq dK~~dih] • (13-
26)
Выражение (13.26) было использовано для получения разложения функции
ф("о, К) по параметру К. Эти степенные ряды были записаны для каждого
значения параметра ы0, приведенного в табл. 13.1. (Для расчета как
производной dTn/du0(h, К, "о), так и функции Tn(h, К, "о) были
использованы вычисления, полученные с помощью компьютера.)
Чтобы определить функцию ф("о, Кс), необходимо знать критическое значение
параметра К, т. е. Кс(чо). Для этого используем стандартную процедуру
[97] определения Кс¦ Рассмотрим функцию ГДО, К, Мо) при q = 0. Эта
величина равна
226
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНОЙ НЕПОДВИЖН. ТОЧКИ
восприимчивости х- Для заданного значения параметра и0 положим
оо
X = Г7=0 (О, К, "о) = Z atKl. (13.27)
1-0
В критической точке восприимчивость стремится к бесконечности (отражая
факт появления спонтанной намагниченности). Таким образом величина Кс
является радиусом сходимости разложения (13.27) по К, если только,
конечно, не существует комплексных сингулярностей, расположенных ближе к
началу координат (|/С| = 0). Однако для I ^ 9 все известные коэффициенты
ai положительны - это наводит на мысль, что ведущая сингулярность
находится на положительной полуоси К. В таком случае величина Кс
определяется из соотношения
Кс= Нт-%=*-. (13.28)
z-"°о ai
Значения отношений приведены в табл. 13.2 для ы0=20.
Чтобы получить точное значение величины Кс(ио), была использована
процедура экстраполяции, описанная в работе [97]; это позволило
определить величину Кс(и0) с ошибкой, меньшей 1%. Результаты приведены в
табл. 13.1.
Таблица 13.2
1 al-ilai Ь1
0 931,88
1 0,283 4 743,8
2 0,321 - 18 402
3 0,323 70 212
4 0,328 -24 969
5 0,328 860 892
6 0,331 -2 857 774
7 0,331
8 0,332
9 0,332
Поскольку степенные ряды, отвечающие функции ф(ы0, К), при К - Кс(и0)
сходятся медленно, то, следуя установив-
8*
227
ГЛАВА 13
шейся в статистической механике практике [97], эти ряды суммируются с
помощью метода аппроксимантов Падё. Так как разложение функции ф(и0, К)
начинается с члена /С2, то метод Падё применяется к функции [ф(и0,
К)/К2]. Процедура заключается в расчете "таблицы Падё" при К = Кс¦ Числа,
стоящие на пересечении М-й строки и N-ro столбца, т. е. [М, N],
вычислялись следующим образом. Допустим, что для данного значения
параметра uq разложение функции ф("о, К) имеет вид
(В табл. 13.2 приведены постоянные ?>; для ы0 = 20; оказывается, что мы
можем, задав разложение для функции Г? до членов порядка К9 включительно,
рассчитать bt только для / 6.) В разложении (13.29) берут члены до
порядка
(jW-J-jV) и для малых значений К аппроксимируют ряд отношением полиномов
соответственно порядка М и N по К с точностью до членов порядка Rn+M+i.
Если заданы постоянные bi, то с точностью до общего масштабного множителя
эта формула позволяет получить М + 1 постоянных ci и N + 1 постоянных di.
В итоге "матрица" 1) [М, N] из табл. 13.3 определяется выражением
Таким образом были рассчитаны все "матричные элементы" для параметра и0 =
20 с (М + N)^. 6 и результаты сведены
') Результаты расчета аппроксиманта [М, N] данного выражения, выполненные
по правилам, сформулированным ниже, мы называем "матрицей", чтобы
избегать более длинного выражения "таблица Падё" величии... - Прим. ред.
ОО
*Г2ф("о, tf)= ЕМС*.
(13.29)
M+N
?мс'
р + 0(/Сл'+л'+1)- (13.30)
(13.31)
228
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНОЙ НЕПОДВИЖН. ТОЧКИ
Таблица 13.3
N=0 I 2 3 4 5
м ~0 -1,073
1 1,546 -2,891
2 -0,719 -4,119 -3,624
3 0,836 -3,983 -3,994 -3,870
4 -0,536 -4,854 -4,097 -2,949 -4,205
5 0,607 -4,356 -4,518 -4,792 -4,438 -4,342
6 -0,448 -5,093 -4,632 -4,806 -4,806 -3,321
Примечание. По ошибке эти числа вычислены для Кс = 0,3328, а не для
0,3362.
в таблицу Падё (табл. 13.3). Указанные в ней числа соответствуют
аппроксимантам Падё для функции ЮбО/Сс/ф ("о. Кс) при ы0 = 20.
