Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
чрезвычайно важно сформулировать способ определения границ подобных
областей.
Мы опишем здесь некоторую приближенную технику определения границы
области, опирающуюся на высокотемпературные разложения. Эта техника будет
развита для весьма специфичного примера, а именно применительно к задаче
определения границы области гауссовой неподвижной точки для модели в
пространстве четырех измерений. (Подобную область мы будем называть
областью взаимодействий, соответствующих "свободному полю", или свободной
областью.) Развитый метод после дальнейшего усовершенствования можно
использовать и в других задачах, касающихся границ областей, отвечающих
неподвижным точкам.
Особый интерес для специалистов по квантовой теории поля представляет
природа и особенности поведения свободной области в четырехмерном
пространстве. Рассмотрим случай перенормированной теории поля со
взаимодействием ф4. До тех пор пока взаимодействие ф4 (при подходящем
выборе параметра обрезания) лежит в свободной области, перенормированная
теория поля, определенная так, как это пояснено в гл. 12, является
теорией без взаимодействия. Свободная область с определенностью имеется
для случая малой затравочной постоянной взаимодействия (см. ниже);
следует выяснить вопрос, не оказывается ли взаимодействие при больших
значениях постоянной взаимодействия вне свободной области и, тем самым,
возможно, в области, для которой существует нетривиальная неподвижная
точка.
214
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНОЙ НЕПОДВИЖН. ТОЧКИ
Вполне возможно, что вся критическая поверхность (см гл. 12) может
оказаться внутри свободной области. В таком случае невозможно было бы
получить перенормированную теорию ф4 с отличным от нуля взаимодействием.
Это не противоречит существованию перенормированной теории возмущений для
взаимодействия ф4. Общеизвестным примером может служить модельная теория
(модель Ли [128]), которой соответствует перенормированная теория
возмущений, но для которой, однако, единственной точно определенной
перенормированной теорией будет теория свободного поля.
[Для модели Ли можно найти некоторую теорию со взаимодействием как предел
взаимодействий с незрмитовым обрезанием. Теория, получаемая при таком
предельном переходе, представляет собой перенормированную теорию
возмущений. В ней, однако, возникают нежелательные "призрачные"
состояния. В теориях, обсуждаемых здесь, все гамильтонианы при обрезании
являются эрмитовыми (см. гл. 10).]
Сама идея наличия неподвижных точек и областей, состоящих из неподвижных
точек, возникла в старой теории ренормализационной группы Гелл-Манна и
Лоу (см. [76]). Старый подход имел недостаток: невозможно было определить
расположение неподвижных точек или границ области, и, как следствие
этого, подобная теория была в высшей степени неконкретна. Расчеты,
описанные в нашей книге (и в особенности предлагаемые обобщения их),
полностью основываются на современном подходе к этим вопросам.
Так, в частности, обрезание в теорию взаимодействия Ф4 будет введено при
помощи задания некоторой решетки так, как это обсуждалось в гл. 10.
Решеточные модели из гл. 10 будут изучены для всех значений постоянной
взаимодействия при ф4, т. е. для всех значений коэффициента Ыо при s4,
по-аналогии со статистической механикой. Найдено, что вся область 0 sg:
"о ^ 00 лежит в свободной области *). Используемые здесь
высокотемпературные разложения позволяют рассматривать на равных
основаниях и большие, и малые значения и0. Проводимые расчеты грубы, но,
по всей вероятности, надежны. Частично они были подтверждены расчетами с
использованием приближенной рекуррентной формулы из гл. 6 (см. конец этой
главы). В дальнейших исследованиях в мо-
J) Для d ^ 4. См. примечания в гл. 7 и 8 относительно случая d - 4 (стр.
104). - Прим. перев.
2\5.
ГЛАВА 13
дель будут включаться дополнительные члены s6, ss и т. п., что позволяет
надеяться на определение границы области.
Яснов и Уортис [129] пытались показать существование резкой границы
области (в несколько иной проблеме), исходя из того факта, что при
переходе через границу области критические показатели испытывают скачок.
Однако в рамках используемой ими техники высокотемпературных разложений
практически возможно появление лишь непрерывно изменяющихся показателей;
существование разрыва должно подразумеваться. В данной главе метод
ренормализационной группы
Фиг. 13.1. Топология на критической поверхности (рассматривается теория
поля со взаимодействием Ф4).
По оси и откладывается величина постоянной затравочного взаимодействия
и0ф4, по оси w - промежуточная переменная. Pq- гауссова неподвижная
точка. Траектории В и С-две типичные траектории, обсуждаемые в тексте.
будет использован для определения функции ф(мо), исчезающей на границе
(если такая граница существует). Следовательно, в нашем случае нет
необходимости искать разрывы.
Обратимся вначале к результатам анализа, проведенного с помощью метода
