Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
ренормализационной группы. Чтобы разобраться в них, необходимо понять,
каким образом траектории в свободной области приближаются к гауссовой
неподвижной точке. На фиг. 13.1 изображено некоторое сечение критической
поверхности. Координатами являются постоянная взаимодействия и, стоящая
при si(f4), и промежуточная переменная w. Точка PG является гауссовой
неподвижной точкой. Начальные взаимодействия не имеют членов с w и
характеризуются различным выбором значений величины ы0; при этом
траектории для разных значений и0 выглядят подобно траекториям В и С на
фиг. 13.1. Найдено, что вблизи PG они располагаются
216
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНОЙ НЕПОДВИЖН. ТОЧКИ
весьма близко к единственной траектории А. Это будет пояснено ниже.
Если свободная область имеет границу, то простейшая топологическая
конфигурация подобна той, что представлена на фиг. 13.2: имеется
двукратно нестабильная неподвижная
Фиг. 13.2. Простейшая топология при наличии второй неподвижной
точки Рв-
Вертикальная линия W соответствует воротам, которые обсуждаются в тексте.
вос-наименьшая величина параметра и, начиная с которой траектория уже не
заканчивается в точке Pq.
точка Рв, а граница свободной области сама является областью для Рв.
Траекторию А в этом случае можно определить как траекторию, связывающую
Рв й Ра. Если граница пересекает каноническую поверхность (в данном
случае ось и), тогда траектории, выходящие из канонической поверхности,
при приближении к границе выглядят подобно D на фиг. 13.2.
Определяющей особенностью траекторий, подобных D, является то, что они
долгое время остаются вблизи неподвижной точки Рв и, следовательно, в
течение большого промежутка времени t не проходят через " ворота" W (см.
фиг. 13.2). Для любого начального значения и0 из области изменения
постоянной взаимодействия и определим время tw(uо) как время, через
которое траектория, начинающаяся в точке "0, пройдет через ворота W. Для
удобства ворота будут распола-
217
Глава 13
гать&я в вапоервдетвен ной близости от гауееовой неподвижной точки.
Из чисто топологических соображений нетрудно усмотреть, что время tw(u0)-
+ оо, если точка "0 приближается к границе свободной области.
Обусловливается это следующей причиной. Пусть величина ы0 возрастает.
Когда и0 достигает границы, траектория, выходящая из точки щ, должна
вести себя разрывно: вместо того чтобы приближаться к Ра, она либо
остается на границе, либо покидает пределы области. И если
дифференциальное уравнение, из которого находятся, траектории, не
является патологическим, то лишь в предельном случае t-+oо траектория
может вести себя разрывно. Следовательно, время прохождения ворот W
стремится к оо по мере того, как "о приближается к границе. Это
обстоятельство бу* дет использовано для выяснения факта существования
гра* ницы.
Определим теперь функцию
Чтобы время tw(u0) становилось бесконечным при и0 =. Ыос, оставаясь
конечным для меньших значений "о, производная dtw(uo)jduo должна быть
бесконечной при "о = и0с; это означает, что функция ф(Ыо) в точке и0 =
и0с должна обращаться в нуль. (Функция ф(ыо) является, таким образом,
аналогом функции ф, введенной первоначально Гелл-Манном и Лоу, в том
смысле, что существование нуля у ф(ц0) при некотором ненулевом значении
параметра uq делает возможным существование нетривиальной
перенормированной теории; см. ра* боту [76].) Обсуждение в общих чертах
случая, когда точка ц0 = оо, стоит провести особо. Однако в этом случае,
как станет ясно, точка и0 = оо располагается внутри свободной области.
Как будет видно ниже, функция ф(и0) нигде не обращается в нуль, а при и0
= оо функция ф отрицательна. Следовательно, время tw(uo) конечно для
конечных ы0, а с ростом и0 уменьшается. Таким образом, вся ось и0
содержится внутри свободной области.
Покажем, что в модели ф4, во-первых, существует единственная траектория
А, к которой при больших t стремятся траектории, выходящие из точек,
близких к PG. "Близость к точке Ро" означает, что параметры и и да малы
и, следова-
218
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНОЙ НЕПОДВИЖН. ТОЧКИ
тельно, применим подход, использующий ту форму уравнений
ренормализационной группы, которая основана на теории возмущений.
Согласно гл. 4, в случае d = 4 итерационное уравнение для щ [уравнение
(4.27), в котором мы пренебрегаем п] имеет вид
ui+1 = ui ~ (13.2)
Переписанное в виде дифференциального;уравнения, оно выглядит следующим
образом:
-9cuf. (13.3)
dt
Решение уравнения (13.3) записывается в виде
и*= 9 (t - t0)c' ^13-4^
где t0 - постоянная. Таким образом, щ -¦>О при t-* оо как 1 /t. В
противоположность этому типичное уравнение для промежуточной переменной в
низшем неисчезающем приближении можно записать так:
-2 wt+u2t. (13.5)
dt
Поскольку ut уже известно, нетрудно найти решение этого уравнения:
Wf
= wq ехр (- 2t) 4- ^ ехр {- 2 (t - h)} ы<, dt\. (13.6)
Единственным параметром, который оказывает влияние на местонахождение
