Ренормализованная группа и epsilon-разложение - Вильсон К.
Скачать (прямая ссылка):
П. Каррузерсу за обсуждение и поддержку Автор получил большое
удовольствие от бесед с А. М. Поляковым, А. А. Мигдалом и В. Н. Грибовым;
он особенно признателен Полякову за его вывод рекуррентной формулы (гл.
6). Профессор Яснов дал много полезных советов по программированию
высокотемпературного разложения. В осуществлении этих программ большую
помощь оказали студенты-дипломники А. Сури и Д. Гоэлнер.
Наконец, К Вильсон благодарит профессора К. Каузена и членов Института
высших исследований Принстонского университета за гостеприимство во время
чтения лекций, которые легли в основу этой книги,
Приложение
ПРОСТЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
В данном приложении для точных уравнений ренормализационной группы,
полученных в гл. 11, будут вычислены неподвижная точка, соответствующая
свободному полю (гауссова неподвижная точка), и некоторые из локальных
"операторов" От [х, s], связанные с этой фиксированной точкой. В общем
виде будет выведено линеаризованное преобразование, определяющее
операторы От[х, s] и аномальные размерности dm-
Предположим, что начальное взаимодействие д@о является чисто гауссовым
= - j jj a{q)oqa-q. (П.1)
ч
В таком случае эффективное взаимодействие является также чисто гауссовым.
Дифференциальное уравнение для функции u2(q, t) [уравнение (11.19)] можно
записать в виде
¦ = 2 [^ + 2q2e2t] и2 {qe*, t) [1 - и2 {де*, /)]. (П.2)
Начальное условие выглядит следующим образом:
"г(<7. 0) = <в(<7). (П.З)
Дифференциальное уравнение (П.2) допускает разделение переменных и легко
решается; получаем
Mi+T^}~2S[J?+2''v']'"' <п-4>
Это дает, если предположить, что р (0) = 0:
ПРИЛОЖЕНИЕ
Отсюда для функции и2 окончательно находим
u2{q, t) = -
(r)(qe О + [1 - (r){qe 0] exp {- 2p (t) - 2q2 + 2q2e 2t}
(П.6)
Чтобы получить неподвижную точку, желательно находиться в критической
точке. Поскольку корреляционная функция Г(<7) для взаимодействия
36$ имеет вид 1/ю (^) г то критическая точка существует, если
со(0)=0. Итак, пусть для ма-
лых q
<*(q) = q2+0(q*). (П.7)
Тогда в первом приближении при больших t и фиксированном q из (П.6)
получаем
"2(<7> t) = -----\е~П ч 57 • (П.8)
qh-2t + ехр [- 2р (t) - 2q2}
Чтобы это выражение при t-> оо стремилось к некоторой фиксированной
функции u2(q), мы хотим выбрать функцию р (^) для больших t в виде
Р (*) = * +с, (П.9)
где с - постоянная. В таком случае
"П<7)= д2 +[е-2С]ехр(_2?2) • (П. 10)
Другие возможные выборы функции р(^) приводят к зависимости от t или же к
нелокальному поведению функции ы2(<7, t) при больших t. Нелокальность в
координатном пространстве связана с сингулярностью функции u2(q, t) по q
или же с резким ее изменением как функции q. Если, например, рСО.^ t Для
больших t, то функция u2(q, t) " 1 всюду, исключая очень малые q, для
которых ы2(0, /) = 0. Таким образом, при очень малых q имеется резкое
изменение функции u2(q,t), которое и нарушает локальность. Если же
p(t)<^t для больших i, то
"2 (<7, t)" q2 ехр (2q2) ехр {2р (^) - 21) (П. 11)
для больших t и фиксированного q, т. е. неподвижная точка отсутствует.
Таким образом, единственно приемлемым выбором асимптотики для функции
р(^) является (П.9). Различ-
238
ПРИЛОЖЕНИЕ
ные выборы постоянной с приводят к различным значениям для члена порядка
q2 в разложении функции u2(q, t). Чтобы удовлетворить условию нормировки
"2 (<7) - q2 О (<74), (П. 12)
необходимо выбрать с = 0.
Неподвижная точка не зависит от вкладов q4, q6 и т. д. членов разложения
функции со (<7); это означает, что коэффициенты при <74, q5 и т. д. в
разложении со(<7) являются промежуточными (т. е. несущественными)
переменными.
Из уравнения (11.31) получаем величину параметра перенормировки
? (t) = ехр { {--42^ }. (П.13)
Сравнивая (П. 13) с соотношением (7.35), находим
ds = ^-\ (П.14)
это определяет каноническую размерность для скалярного поля. Выражение
(П.13) для параметра t,(t) согласуется с параметром перенормировки ?,
полученным в гл. 3. Там было найдено, что ? = 2I+d/2 при изменении
параметра обрезания в 2 раза. Обрезание е~{ изменяется в 2 раза, если
провести замену t -> t -f In 2, что в свою очередь приводит к увеличению
функции ?(/) в 21+d/ раз.
Интересно непосредственно рассмотреть уравнение для функции ul(q),
соответствующей неподвижной точке. Если
= "2 (q) не зависит от t, то производная dp/dt также
должна быть некоторой постоянной, скажем, dp/dt -Ь. Из уравнения (11.19)
для функции u2(q) получаем
0 = - q • \u2(q) + 2 (b + 2q2) ul (1 - "5). (П. 15)
Предположим, что u2 (q) зависит только от | q |. В таком случае *
q^- = 2(b + 2qs)ut(l-u$. (П. 16)
Таким образом, мы приходим к обычному дифференциальному уравнению,
которое допускает разделение переменных и общее решение которого
определяется из алгебраического уравнения
_р-,"ехр(2Л (П.17)
1 - и2 (</)
239
ПРИЛОЖЕНИЕ
где р - произвольная постоянная. Окончательно имеем для
Полученное выражение для функции ы* (q) сводится к предыдущему
результату, если выбрать b = 1, а р = ехр (-2с). Однако теперь
