Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
Свойства нелинейного потенциала. Как отмечалось в предыдущем разделе, учет нелинейных эффектов третьего порядка приводит к появлению в потенциальной функции дополнительного слагаемого 2у2*4. Так как оно всегда положительно, потенциал л(х) должен быть положительным при больших значениях аргумента х. Отсюда следует, что при s=l в области больших х появляется новый корень уравнения л(х)=0, который определяет, очевидно, максимально возможное значение х. Существование такого максимума указывает на возможность стабилизации неустойчивости. При s ——1 новый корень возникает в области больших отрицательных х, что и служит причиной преобразования решения от (9.11) к (14.28) или (14.31). Из вида корней, найденных в гл. 9 [—(0), —и\(0) и «о(0)], следует, что тогда, когда какая-либо из начальных амплитуд имеет порядок у-1, соответствующий ей корень претерпевает значительное изменение из-за учета величин третьего порядка.
Качественная зависимость л (я) для этого случая показана на рис. 14.3. Предположим, что «о(0)^>«1,2(0) и Ф(0)=0. Тогда в первом порядке по у2 (14.24) дает
что согласуется с ранее полученной оценкой. Так как наличие слагаемого 2у2*4 всегда приводит к увеличению я (я), а согласно (14.33) уменьшается при значениях «о(0), близких к l/у, нелинейное взаимодействие при этом слабее, чем во втором приб-
Период равен 4К2, где
хх= ыо(0)[1 —у*и20 (0)],
(14.33)
4* 99
лижении. Отметим, что при s = — 1 уравнение я(х)=0, как правило, имеет четыре вещественных корня. Однако при очень больших 02 корни Хз и Х4 могут быть комплексными. Действительно,, пренебрегая в (14.25) слагаемым aix+ao, получаем
*з,4 = — (1/2) Оз/сс4 + (1/2од) (а* — а2а4),л,
откуда следует, что корни Хз и х4 будут комплексными (и притом комплексно-сопряженными) при ага^а! , или с учетом (14.26)
Ui (0) + ul (0) — «о (0) > 1/y2.
Рис. 14.3. Потенциал п(х) при s= =—1. Корень х4 возникает вследствие учета нелинейного сдвига частоты. Величина х может осциллировать между х, и х2. Пунктирная кривая качественно иллюстрирует поведение п(х) во втором приближении
(7 = 0)
Рис. 14.4. л(х) при s=l. Учет нелинейного сдвига частоты приводит к появлению корня xt. Величина х может осциллировать между х, и х2. Пунктирная кривая соответствует расчету потенциала во втором приближении
Случаю s = 1 соответствует потенциал, показанный на рис. 14.4. Если все Uj(0) равны, то с точностью до членов первого порядка по у
хг « 1/Y2 + 2Yr — и/ (0); (14.34)
« Гг/з [ 1 — (2/3) 7Г'/з] — «/ (0). (14.35)
Два других корня могут быть вещественными только при дополнительном условии Г = 0. Тогда (14.34) и (14.35) соответствуют решению солитонного типа, а потенциал п(х) принимает вид, изображенный на рис. 14.5. Корень х2 = — «/(0) определяет точку перегиба функции п(х). По аналогии с механическим движением в потенциальном поле можно заключить, что х будет асимптотически стремиться к значению —«/(0), а следовательно, ампли-
100
туда будет стремиться к нулю. При двух комплексных корнях кривая я (я) имеет вид, приведенный на рис. 14.6. Аналогия с механическим движением указывает на то, что при потенциалах я(я) типа показанных на рис. 14.3, 14.4 и 14.6 амплитуда должна осциллировать между значениями, соответствующими корням Xi и х%. Если s=l, то велико и происходит стабилизация неустойчивости.
Рис. 14.5. Потенциал я(дг) для трех совпадающих корней
Рис. 14.6. Потенциал я(дг) при s=l для двух вещественных и двух комплексных корней
Гамильтониан третьего порядка. Получим теперь систему уравнений типа (14.9), отправляясь от гамильтониана рассматриваемой системы волн, вычисленного в третьем приближении теории возмущений. Пусть максимальную частоту имеет волна О, «02 = 5, Sqi=S2 и Si2 = —«о, где Sj — знак энергии волны /. Нормируя амплитуды так, что vjh=V, получаем гамильтониан вида
Н = 2 + 2V (u$ufu$)1/2 sin Ф — 2 yjkuluh (14.36)
/' ik
где Ф = 0О 0j 02j 0у = <pj Wjt.
Выбирая в качестве канонических переменных Qj = SjQj и Pi = ut- , приходим к системе уравнений
duj/dt = SjVukUi cos Ф; (14.37a)
дФ} V4 о UbUl
~дГ + 2 s; (V/ft + Vkj) Uk = SjV sin Ф. (14.376)
k 3
Знак «минус» в (14.37a) соответствует волне с максимальной частотой. Учитывая, что Rea.jh = Sj(yjh+yhj), находим следующее условие симметрии для коэффициентов связи третьего порядка:
«/“/ft = skahi. (14.38)
Предельные переходы ко второму приближению. Представляет интерес исследование предельного перехода от решения для Pj?=0 (настоящая глава) к решению для р5 = 0 (см. гл. 9). Нач-
