Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
где
Ф = + ~~~ + (aresin—r— ^ — + arc-sin _.(32/9) '^v_+ ? (15.10)
2 2 I Vg2 + (16/9) v2 Vl2+(16/9)y> V 7
и ? = —Sima;.
Знак «минус» в (15.10) следует брать при ?>0, знак «плюс» — nj)H |<0. Формулы (15.9) и (15.10) выведены в предположении <х/ =a.j.
Локализация фазы. В случае взрывной неустойчивости при отсутствии диссипации и Pj = 0 фаза Ф асимптотически стремится к нулю, причем это асимптотическое значение не зависит от начальных условий (эффект локализации фазы в окрестности нуля). При учете нелинейного сдвига частоты это характерное поведение фазы наблюдается до амплитуд порядка l/у, затем происходит резкое уменьшение Ф (если fSj>0) и в точке максимума амплитуды Ф = = —л/2. За этой точкой амплитуда уменьшается и, следовательно, cos®<0. Но при этом sin® принимает те же. значения, что и до максимума, т. е. решение оказывается симметричным относительно максимума. '
110
Коэффициенты связи второго порядка с различными фазовыми
углами
Перейдем к рассмотрению общего случая [3], когда фазовые углы коэффициентов связи второго порядка отличны от нуля и не равны между собой. Такое положение реализуется при учете мнимых составляющих частот взаимодействующих волн. Чтобы не слишком усложнять задачу с самого начала, предположим, что можно пренебречь линейным затуханием, обусловленным наличием этих мнимых частей. Тогда получим следующую систему исходных уравнений:
dujdt = щи2 cos (Ф + 012); (15.11 а)
dujdt = и0и2 cos (Ф + бог); (15.116)
dujdt = и0щ cos (Ф + 0О1); (15.11 в)
+ бсо = — i^sin (Ф + е12) —^sin (Ф + е02) -
dt «о ui
_^5Ш(ф+е01), (15.11г)
«2
Отметим, что систему такого вида можно получить и при условии, что мнимые добавки к частотам различных волн почти одинаковы, так что можно применить преобразование (10.7) и пренебречь членами, пропорциональными yv.
Система (15.11) не приводит к соотношениям типа (15.1). Замечая, однако, что стабилизирующее действие б<в существенно связано с возможностью изменения фазы Ф на величину, приближенно равную я (при этом нелинейный член меняет знак), мы вправе полагать, что такой механизм стабилизации неустойчивости менее эффективен при 0{3-^=О. Это предположение полно: стью подтверждается численным решением (15.11), результаты которого показаны на рис. 15.7. Видно, что две амплитуды неограниченно нарастают, в то время как третья выходит на постоянный уровень, причем величина dd)/dt остается ограниченной. Это означает, что в уравнении (15.11 г) должно быть слагаемое, компенсирующее рост величины бсо. Такая компенсация может осуществляться за счет того из слагаемых правой части (15.11г), которое содержит в знаменателе амплитуду, асимптотически стремящуюся к постоянной. Рис. 15.7. Экспонен-
Рассмотрим несколько подробнее ^длГ^Ф) Первого
асимптотический режим для процесса, типа] при 012=0,
изображенного на рис. 15.7. Подставим в 0О2=я/4 и 60i=— я/4
111
(15.11) величины Ui = k{exp{at) {i = k, I), Uj=b и введем обозначение
р,-соз(Фа + 0лг), / = 0,1,2, (15.12)
где Ф0 — асимптотическое значение фазы, которое определяется из условия dUj/dtm 0, что эквивалентно pj«0. В результате получим решение вида
щ = Л, ехр (ЬУръР[ ), t = k, I, (15.13)
где
ktJki = (Pk/Pi)l/‘• (15.14)
При этом из (15.11 г) вытекает равенство
Uj = b = — [sign sin (Фа + 0ftZ)] yihp7/(pkpk + PiPi). 1(15.15) Используя интеграл движения (10.11), т. е. ul sin (0О2 — 0О1) + -f«isin(0ol— 012) + «2 sin (012 — 0О2), который имеет место и для системы (15.11), можно записать также
= V— sin (Ом — 0;-[)/sin (0Л — 0ftI) .
Таким образом, мы в состоянии аналитически описать асимптотическую часть решения типа изображенного на рис. 15.7.
Однако следует иметь в виду и иную, отличную от рассмотренной, возможность получения конечных значений дФ/dt при неограниченном увеличении амплитуд. Она реализуется тогда, когда р;-имеют различные значения. При этом решение имеет взрывной характер:
«/= [УРйРГ (*оо —(15.16)
Подставляя последнее выражение в бсо и удовлетворяя требованию ограниченности бсо, получаем
Ро/PiPa + Р1/Р0Р2 + Р2/Р0Р1 = 0- (15.17)
Это соотношение определяет асимптотическое значение фазы
Фа = arctg f Po..cos е12 + Pi cos 9o2 + P2 cos 901 \ + ^ (15Л 8)
\Po s‘n 9ia 4" Pi s*n бог 4" Pa s*n ®oi J
которое в общем случае отлично от значения, полученного во втором приближении.
Для описания локализации фазы удобно ввести следующую асимптотическую фазовую функцию:
