Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
Учитывая еще, что
u2L = [x+D(x) + M3~M1]'/% (13.13)
приходим к уравнению
(1/2) (dx/dt)2 + л (х) = 0, (13.14)
где
п(х) = —2[x + D(x) + M3 — M1\(x2 — M1x — A2T1). (13.15)
Переменные в этом уравнении также разделяются, что позволяет записать его точное решение:
X
t = Г ¦ , dx (13.16)
J V—2я (*) v
*(0)
При надлежащем выборе Л и Г1 можно аппроксимировать л(л:) полиномом третьей степени относительно х. Обозначая корни этого полинома х1>х2>х3, получаем из (13.16)
x(f)=---------------------------+ * (13.17)
sn*[(*1-*,),/.(fee_0,*] ’
где
К = [(х2 — х3)/(х1 — х3)]'и\
89
too =
(13.18)
a0 = arcsin [fo — x3)/(x0 — x3)].
Остальные амплитуды, а также фазы Ф1 и Фц можно найти с помощью интегралов движения.
13.1. Рассмотреть случай трехволновой системы, в которой обе поперечные волны имеют положительную энергию, а продольная волна того же типа, что и волна, рассмотренная в гл. -13. Определить, какие волны неустойчивы в этом случае при выполнении резонансных условий (13.1). Может ли волна с отрицательной энергией играть роль волны накачки для поперечных волн?
1. Цытович В. Н. — Журн. эксперим. и теорет. физ., 1966, т. 51, с. 1385.
2. Wilhelmsson Н., Pavlenko V. Р. — Phys. Scripta, 1973, v. 7, p. 213.
3. Tsytovich V. N.. Wilhelmsson H. — Ibid., p. 251.
4. Bonnedal М., Wilhelmsson H. — J. Plasma Phys., 1974, v. 12, p. 81.
5. Tsintsadze N. L., Wilhelmsson H. — Phys. Scripta, 1975, v. 11, p. 316.
Эта глава посвящена, главным образом, проблеме стабилизации взрывной неустойчивости за счет нелинейных эффектов третьего порядка. Исследуется влияние этих эффектов на устойчивые во втором приближении трехволновые системы. Подчеркнем с самого начала, что рассмотрение ограничено временной эволюцией. Не затрагиваются также вопросы совместного учета нелинейности и дисперсии.
Вначале обсуждается роль нелинейных эффектов третьего порядка, а затем дан формальный анализ, основанный на использовании обобщенных уравнений связанных волн. Этот анализ указывает на существование нелинейного сдвига частоты, при наличии которого динамика фаз претерпевает сильное изменение в области больших амплитуд взаимодействующих волн. Как видно из обобщенного интеграла движения (14.11), в этой области добавочное нелинейное слагаемое может компенсировать обычное. Тогда резко изменяется фаза и наступает насыщение. За точкой насыщения амплитуда быстро уменьшается: ее зависи-
мость от времени весьма близка к зеркальному отражению кривой развития взрывной неустойчивости до насыщения.
Задача
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ГЛАВА 14
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА И СТАБИЛИЗАЦИЯ ВЗРЫВНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
90
Рассматриваемый эффект исследуется на простом примере системы трех волн с первоначально равными амплитудами. В этом случае получают аналитическое решение солитонного типа. Если же начальные значения амплитуд различны, то наблюдается интересный эффект периодического повторения пиков насыщения (взрывов).
Обобщен также метод нелинейного потенциала, изложенный в гл. 9, и детально исследованы свойства новой потенциальной ¦функции, которая представляет собой полином четвертой степени относительно квадратов амплитуд. В отсутствие затухания уравнение для нелинейного потенциала решено как при одинаковых, так и при различных знаках энергий взаимодействующих волн.
Общая характеристика взаимодействия волн при учете нелинейных эффектов третьего порядка
Второе приближение теории нелинейного взаимодействия волн, которое использовалось в предыдущих главах, обычно является достаточным для описания энергообмена между волнами различных типов при условии, что знаки энергий этих волн совпадают. Можно ожидать, однако, что эффекты третьего порядка окажут существенное влияние на процесс нелинейного взаимодействия при взрывной неустойчивости, поскольку в этом случае амплитуды неограниченно увеличиваются. То же следует сказать о плазме, находящейся под воздействием сильных внешних полей (как, например, при лазерном облучении мишеней).
Анализ, проведенный в гл. 3, можно уточнить, включив в рассмотрение осциллирующие части амплитуд, обусловленные наличием нерезонансных слагаемых. Комбинация этих амплитуд с нерезонансными слагаемыми приводит к резонансам высшего порядка. Однако окончательные уравнения проще получить, формулируя, задачу в терминах нелинейных токов (см. гл. 5). При учете нелинейных токов третьего порядка эти уравнения будут содержать произведения амплитуд трех электрических полей, а это означает, что коэффициент связи третьего порядка выразится через проводимость третьего порядка. Такая процедура выглядит чисто математической и в каждой конкретной физической задаче требуется расчет проводимости с учетом всех существенных для нее физических процессов.
