Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 15.12. Экспоненциальное решение,, для /Г(Ф) четвертого типа При 012 = 0, 0О2 = я/4 и
0oi = —я/4
Это приводит к осцилляциям фазы около точки Фос и, как следствие, к неустойчивому решению взрывного типа (рис. 15.11). Наконец, при /•’ (Ф) Четвертого типа снова получаем экспоненциально нарастающие амплитуды, так !как фаза Ф стремится к асимптотическому значению (рис. 15.12).
Учет линейного затухания. Возможность получения неустойчивых решений сохраняется и при наличии линейного затухания. В асимптотическом пределе, когда UjTtib, система уравнений приобретает вид:
duh/dt + v^ik = buiph; (15.21а)
• дщ/dt + vjUj = buhpi, (15.216)
\ у/и, = uhui cos (Фд + 0fti); (15;21в>
P*4 + M? = — (u^ui/b) sin (Фа + 0к1). (15.21r>
115-
Подставим в эти уравнения «* = /2,exp(at), i=k, I, и определим затем величины kjki, а и Ь. Окончательный результат расчета дается следующими выражениями:
ktJki— {fp* + (v; — v*) рг]/[рг + (v4 — Р*]} 7'; (15.22)
а = — (l/2)(vz+vA) + [(1/4) (vz — v*)2 + b2PftPz]Vs; (15.23) 6=[(WPfc + (WPiF!. (15-24)
Как видно, коэффициенты нарастания амплитуд uh и щ равны и возрастают с увеличением разницы между v; и v^. Из соотношений (15.23) и (15.24) вытекает следующее выражение для критического значения v, при котором коэффициент нарастания амплитуды обращается в нуль:
VftVi = PpbPi = PkPittikb/ki) + (ki/kb) P;]2. (15.25)
Зто выражение указывает на то, что при малых коэффициентах •связи третьего порядка решения экспоненциального типа возможны даже при наличии сильного линейного затухания. Из (15.21в) видно также, что асимптотическое значение фазы остается таким же, как и при Vj = 0. Учитывая еще уравнение (15.21 г), видим, что и процесс локализации фазы протекает точно так же, как при
¦Vj = 0.
На рис. 15.13 показаны результаты численного решения для одинаково затухающих волн. При превышении критического значения v получается равновесное решение того же типа, что и при ¦©ij = 0 (рис. 15.14). Критическое значение v существует и для решений взрывного типа, но его трудно определить.
Рис. 15.13. Экспоненциальное решение для всех v3- = 0,5; 0i2=O, 0os=
=я/4 и 0о1=—я/4
Рис. 15.14. Стационарное решение в случае, когда величина, характеризующая затухание (v3-=0,5), превышает пороговое значение и 012=0, 0оа= =я/300, 0oi=—я/300
116
• - При равновесии амплитуды имеют следующее асимптотическое значение:
U, = VVftVi/PfcP, .
(15.26)
Подставив это значение в (15.21 г), можно получить соотношение для определения асимптотического значения фазы. Оно имеет вид кубического уравнения относительно tg<Pa.
Эффективное нелинейное затухание. В тех случаях, когда стабилизирующее действие нелинейного сдвига частоты бсо утрачивается из-за наличия затухания, неустойчивость все же можно стабилизировать за счет эффективного нелинейного затухания 6vj. Для этого требуется, однако, чтобы нелинейное затухание было положительным, а это не всегда так [4]. На рис. 15.15 показан пример решения первого типа, когда одна из амплитуд стабилизируется вследствие нелинейного сдвига частоты, а две другие — за счет эффективного нелинейного затухания. Определить асимптотические значения этих амплитуд в общем случае очень сложно, но если предположить, что для нелинейного затухания v намного меньше критического значения (15.25), то при определении уровня насыщения можно учесть только нелинейное затухание, что даст
PjVlkliPkPi
где
Si Ро + So Pi 4- So Si Pi !ft = —Ima jk, / = 0,1,2.
(15.27)
Рис. 15.15. Стационарное решение при одинаковом для всех амплитуд эффективном нелинейном затухании; Im a j=0,08; 012=0, 602=я/4 и 0oi=—я/4
117
Асимптотическое значение фазы определить не удается, если только решение не имеет вида, изображенного на рис. 15.15, когда уровень амплитуды, стабилизируемый за счет нелинейного затухания, камногониже уровней остальных амплитуд. При этом асимпто-* тическое значение фазы такое же, как и в отсутствие эффективного линейного затухания.
Отметим в заключение, что эффективное нелинейное затухание можно рассматривать как частный случай зависящего от времени затухания, введенного в работе [5].
Задачи
15.1. Определить число затухающих Волн, требующихся для того, чтобы потенциал имел конечное значение, когда все 0,-3 = О.
15.2. Установить, какая из амплитуд (ui или и2) имеет большее асимптотическое значение в случае, показанном на рис. 15.96, при
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Weiland J., Wilhelmsson Н. — Phys. Scripta, 1973, v. 7, p. 222.
