Когерентное нелинейное взаимодействие волн в плазме - Вильхельмссон Х.
Скачать (прямая ссылка):
F (Ф) = ро cos (Ф -f- 012) + Pi cos (Ф + 0О2) + P2 cos (Ф 0О1). (15.19)
С помощью этой функции формулы (15.15) и (15.17) можно переписать в виде
Uj = ь = — sign [sin (Фа + 0А1)] Ур^рГ/F (Фа) и, поскольку р1 = 0, (Ф0) =0,
/г(Фа) = 0.
Исследуем характер локализации фазы в зависимости от вида1.
112
функции ^(Ф). Если амплитуды увеличиваются экспоненциально, то
sign [sin (Фа + 0*,)] F (Фа) < О,
так как Ь>0 и pi>0. При этом все 0*j принадлежат одной полуплоскости в соответствии с тем, что мы имеем дело с системой, неустойчивой во втором порядке. Упорядочим фазовые углы так, что 012^=002^001 (рис. 15.8, а). Тогда получим два возможных
Рис. 15.8. Локализация векторов ехр(iGij) в одной полуплоскости (а), конфигурация векторов exp[i(<Da + 6tj)], демонстрирующая локализацию фазы при «о=const (б) и при и2=const (е)
значения Фа, при которых одна амплитуда постоянна, а две неограниченно увеличиваются. Первая из них соответствует и0 = = const (Фа = я/2 — 012 + 2лл), а вторая — «2 = const(®a = —я/2—
—0о1 + 2лл). Эти возможности показаны на рис. 15.8, 6 и 15.8, в соответственно.
При исследовании влияния бсо на локализацию фазы основной интерес представляет интервал — я/2—0О1^Ф^я/2—0i2. Замечая, что функция ^(Ф) может иметь в этом интервале не более одного нуля, получаем четыре возможных типа этой функции.
1. F(Ф) положительно определена во всем интервале; единственно возможная локализация:—я/2 — 0Oi (рис. 15.9, а).
I
JC ' 2~
J01
Рис. 15.9. Различные типы функции f (Ф)
113
2. ^(Ф) отрицательно определена во всем интервале; единственно возможная локализация: л/2—0i2 (рис. 15.9,6).
3. .Г(Ф) изменяет знак таким образом, что единственно возможным решением является взрывная неустойчивость, т. е. F (Ф)->-—>-0 (рис. 15.9,в).
4. F (Ф) изменяет знак так, что возможна любая локализация фазы (рис. 15.9,г).
Для того чтобы определить, какой из перечисленных типов реализуется при заданной комбинации величин и Вц, перепишем F(Ф) следующим образом:
F (Ф) = R cos (Ф + Q),
хде
R = (Л2 + B2)v'; Q = ± arccos А/(А* + В2)7*;
А = р0 cos 012 + Pi cos 0О2 + р2 cos 0О1;
В = р0 sin 012 + sin 0О2 + р2 sin 0О1.
Теперь можно указать пределы изменения ?2, соответствующие функциям F (Ф) различных типов:
1) 0О1 ^ ^ ^
2) зх + 0О1 <; ?2 л -f- 012;
3) я -f- 012 й 2л -j- 0О1;
4) 012 <1 ?2 <1 л; -f- 0О1.
Динамический процесс локализации фазы. Нелинейный сдвиг частоты бсо начинает существенно влиять на динамику фазы в тот момент, когда во втором приближении фаза уже принимает асимптотическое значение (см. гл. 10). Более того, для амплитуд имеет место приближенное выражение вида
щ да [Т/cos(Ф + 0/г)cos(Ф + 0/ft) (t„ — /)]“:, (15.20)
где все соз(Ф + 0ьг) >0. Это означает, что бсо имеет тот же знак, что и функция F (Ф). Предположим, что бсо и F (Ф) отрицательны.
Тогда по мере роста |6со| производная дф/dt становится положи-
тельной и Ф также начинает увеличиваться. В результате амплитуды Uj могут выходить на новый асимптотический уровень типа
(15.20), но с другими значениями Ф и /со. Если при этом F (Ф) все еще сохраняет отрицательный знак, то по-прежнему 6со<0 и Ф продолжает увеличиваться. Но в тот момент, когда Ф будет проходить точку л/2—012, «о уменьшится и слагаемое с Uj в знаменателе начнет возрастать быстрее, чем бсо. Это вызовет возврат Ф к значению л/2—012, и в конечном счете получаются экспоненциальные решения при м0 = const. Используя аналогичные аргументы, можно убедиться, что при положительных Ф и бсо фаза Ф уменьшается до тех пор, пока F (Ф) не изменит знак или Ф не достигнет значения —л/2—001. Общее правило, следовательно, заключается в том, что в случае экспоненциальных решений ф всегда стремится к асим-
114
птотическому значению, которое соответствует мгновенному знаку Р(Ф). Имея это в виду, можно легко понять динамику процессов для каждого из четырех рассмотренных выше типов функции /Г(Ф).
Функция .Р(Ф) первого типа не изменяет знак, фаза стремится к значению —я/2—0м, и амплитуды экспоненциально увеличиваются (см. рис. 15.7). Второй тип отличается от первого лишь тем, что предельное значение фазы равно я/2—0i2 (рис. 15.10). В третьем случае Ф стремится к тому асимптотическому значению, которое всякий раз оказывается в противоположной стороне от точки Фос-
Рис. 15.10. Экспоненциальное решение для F(<D) второго типа При 012=0, 0О2= я/4,
0oi=—я/4
Рис. 15.11. Взрывная неустойчивость для F(Q>) третьего типа при 012= — 0, 002“ Я/4 И 001 =
=—я/4
