Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
' Г (п -fs —2)
Полагая для простоты а0= - ^ , находим
„ __Г (tl -f- k -\- а—2)
Г (ft — а)
Итак, мы доказали, что в пространстве 3) лишь в двух случаях существует эрмитова форма (Fb F^), инвариантная относительно операторов Tnz (g):
i \ п — 2 , .
1) о имеет вид з =-------------J-гр, где р — вещественное число.
В этом случае
(/--„ /-’,) = \ ')W?)d%, (5)
k-~ 0 2
со
где Fj= ^ F{jk), F{P ? 43я-'• *, / = 1, 2, Принимая во внимание, что
подпространства попарно ортогональны, равенство (5) можно
переписать в следующем виде:
(/--„ F,)=\ /•! (|')^з7Г) (5')
2) о — вещественное число. В этом случае имеем
(Fi> FJ= 2 Г(^±Г2) ^ (6)
А = 0 —2
где (|') имеют указанный выше смысл.
Можно показать, что равенство (6) допускает следующую запись:
{Fv Fn) = CQ \ \ --.^ yi_drdV> (7)
_2s/i-2U —IS » Л ))
где
ТГ) = Sifji -f- . .. -f- V-l
и
Уъ Г (a)
a
Несложно показать, что эрмитовы формы (5') и (6) на самом деле инварианты относительно представлений Tn*(g), где a =— п ^ 2 -j- /р для формы (5') и о=5 для формы (6). Опустим детали этой выкладки.
514
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ
[ГЛ. X
Выясним теперь, при каких значениях о найденные инвариантные эрмитовы формы положительно определены. Для формы (5') ответ очевиден — для любой функции F имеем (F, F)^ 0. Таким образом, ^____________2
если о=------^--ЬгР’ г^е Р— вещественное число, то представ-
ление Тпа унитарно. Эти унитарные представления называются представлениями основной серии группы SH[n).
В случае формы (6) неравенство (F, F)^ 0 имеет место для всех функций F, если для всех k выполняется неравенство
r(n + ,fe + a-2)
—г (ft-7)—(8)
Очевидно, что это имеет место, если — я-|-2<^о<^0. Таким образом, представления Тпа (g) при вещественных о унитарны тогда и только тогда, когда — п -|- 2 о 0. Эти унитарные представления называются представлениями дополнительной серии.
Кроме основной и дополнительной серий, существует еще дискретная серия унитарных представлений группы SH(n). Эта серия соответствует значениям о = — п — k-\-2, где k — целое неотрицательное число. Мы показали в п. 4, что в этом случае в пространстве © есть подпространство, инвариантное относительно представления Тпа (g), а именно, m
ЗУ—1-*= 2 Ф"-1'-'- (9)
Формула (6) определяет в этом случае инвариантную эрмитову форму в подпространстве З)"-1, *:
{рь /ч>= s 5 mt)WW)<iz. сю)
jJh+\1V — a)s"~2
Эта форма положительно определена. Поэтому представление Г*e(g) при о = —-п — k-\-4 индуцирует в З)'*-'• * унитарное представление.
Эти унитарные представления мы и будем называть представлениями дискретной серии.
При о = k мы имеем конечномерное инвариантное подпространство
k
31»-1- * =
/ “ о
в пространстве 2). В этом подпространстве существует инвариантная эрмитова форма вида
2(~1/Г(А-У+1)Г(я+/ + А-2) J WiomFMS'- 00
j=o s'»—2
ЗОНАЛЬНЫЕ И ПРИСОЕДИНЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
515
Для доказательства достаточно воспользоваться рекуррентным соотношением (3) и положить а0= Г (А -|- 1) Г (п-\- k — 2). Форма (11) не является положительно определенной. Таким образом, группа SN(n) не имеет унитарных конечномерных представлений (за исключением тождественного представления).
6. Эквивалентность представлений Tna(g). При некоторых значениях о и т представления Tna(g) и Т"* (g) эквивалентны. Повторяя рассуждения, проведенные в п. 6 § 2 главы VI в случае п=Ъ, получаем следующий результат.
Если а не является целым числом, таким, что о ^ О или —п-\- 2, то представления Тпа (g) и Tn'~n~a + 2(g) эквивалентны друг другу. Если о = k ^ 0 — целое число, то эквивалентны представления, индуцированные Tnk(g) в подпространстве —
и jn,-n~k-2(gj 8 фактор-пространстве 3)/2)л-*. Кроме того, эквивалентны представления, индуцированные Г"*(g) в фактор-пространстве * и Тп'~n — k+2 в подпространстве
— 1, k
§ 3. Зональные и присоединенные сферические функции представлений класса 1 группы SH{n)
В этом параграфе будут изучеды матричные элементы представлений Тпа (g) группы SH(n), стоящие в «нулевом столбце», т. е. соответствующие функции /^0 (%)1, инвариантной относительно операторов Тпа (h), h?SO(n—1). В частности, будет изучена зональная сферическая функция, стоящая на пересечении нулевого столбца и нулевой строки. Мы увидим, что эти функции выражаются через изученные в главе VI функции Лежандра и присоединенные функции Лежандра. Полученная связь приводит к установлению многочисленных новых свойств функций Лежандра, оставшихся неосвещенными в главе VI.
