Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
где K=(k, 0, 0).
524 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. X
Подставим в равенство (4) вместо матричных элементов их выражения через присоединенные функции Лежандра и многочлены Гегенбауэра. Так как
*пкк [&•-« Ы1 = к [fii-a ЫЬ
ТО
3 — л 3 — л
sh 2 0ф 2л_3(с119) =
a+zV
п__5 со
= 2“Гр^*)Г(а+1)Г(-Я_а + 3) J (~ X
* — О
3 —л 3 —л 3 — л
ХГ(—и — о— k-\-3)sh 2 elSh 2 еа%Z3(chei)X
°+~2”
3—л—3
x s?"\-3 (ch e*) (cos ?i)> (5)
5 ^ 2
где
ch 0 = ch 0t ch 02 -|- sh 01 sh 02 cos cp!-
Эта формула аналогична доказанной в п. 2 § 4 главы IX формуле сложения для многочленов Гегенбауэра.
6. Теорема умножения для функций Лежандра. Умножим обе
л —3
части равенства (5) п. 5 на функцию sin/,'_3(p1Cm 2 (cos ср!) и проинтегрируем по cpjj от 0 до те. Принимая во внимание соотношения ортогональности для функций Гегенбауэра, получим
5 sh 2 05Р 2 л^3(с110)Ст2 (cos <pj) sinл-3 ?!(/?! =
О а + ~2~
5 — Л
_(- - 1)т7Е 2 2 1>+ 1)Г(~ а — я + 3)Г(« + т — 3)
т! Г (а — т -)- 1) Г (— п ~-т — а 3) Г (^—
Xsh 2 9lSh 2 0а«р 2 л (ch 0^ ф 2 „_™(ch 62), (1)
a+— a + —
где
ch0= ch 0t ch 02-|-sh 0! sh 02 cos cp. (2)
§ 3] ЗОНАЛЬНЫЕ И ПРИСОЕДИНЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 525
Замена переменной на переменную 0 преобразует формулу (1) к следующему виду:
I о 1 + 0»( а+~
л —4
X { [ch (0!-|-02) — ch 0] [ch 0 — ch (0! — 02)] } 2 d0 =
5 — п
_(— l)m7L2 2 Г(а + 1)Г(—а —/1 + 3)Г(/1 + т —3).
т!Г(а —т + 1)Г(—и— т —о + З) Г
X
X sh 2 01 Sh 2 02ф 2 „ _ ™ (ch 61) ? 2 „_3т (Ch09).
а+— а + —
7. Производящая функция для присоединенных функций Лежандра. Из формул (2) и (5) п. 4 следует, что
тг п — 3
(ch S — cos ср sh 0)а Ch2 (cos со) sin^3<ody —
6
/1 — 3
~2 ¦‘I— T, !n — 2
(— 1 )ft 2 2 ynT^-^jT(a+\)T(n + k-3)
X
k\T(n — 3)T(a — k+ 1)
3 — n
X sh”2” 0 ф 2/i_’’(ch0). (1)
3 — n 3 — n
------- k
а-j- -1 2
В силу соотношений ортогональности для многочленов Гегенбауэра отсюда вытекает
п — I 3-о
п — 3^
(ch 0— coscpsh0)a = 2 2 Г (a —j— 1) Г (—^—J sh 2 0Х
3 — п
п — 3
х 2 —TV—* + 1) 1,! («» ?>• (2)
ft=0 a1 2
Равенство (2) можно рассматривать как производящую функцию для присоединенных функций Лежандра. С его помощью легко установить ряд новых свойств этих функций.
Положим в равенстве (2) ср = 0 или тс. Мы получим
526
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. X
k (ch в) OC+V * (Ch 6). (4)
§ 4. Разложение представлений группы SH (п) и преобразование Фока — Мелера
1. Вводные замечания. В этом параграфе мы разложим квазирегулярное представление группы SH{ri). Оно аналогично квазирегулярному представлению группы SO (я) вращений л-мерного евклидова пространства и строится в пространстве функций на сфере псевдо-евклидова пространства. Однако, поскольку в псевдоевклидовом пространстве есть три типа сфер (вещественной, чисто мнимой и нулевой кривизны), существуют три типа квазирегулярных представлений группы SH(п). Первый из них реализуется в пространстве функций на верхней поле гиперболоида [х, х]=1, второй —в пространстве функций на гиперболоиде [х, х] = —1 и третий — в пространстве функций на верхней поле конуса [§, |] = 0.
Ограничимся представлением, связанным с двуполостным гиперболоидом [х, х]=1, поскольку случай однополостного гиперболоида еще не изучен до конца. Разложение представления, связанного с гиперболоидом [х, х]= 1, проводится по общей схеме, найденной И. М. Гель-фандом и М. И. Граевым. Схема состоит в следующем: сначала каждой функции /(х) на гиперболоиде [х, х] = 1 ставится в соответствие функция h (|) на конусе [|, |] = 0, Функцию h (|) разлагают на однородные компоненты, Квазирегулярному представлению соответствуют неприводимые представления в пространствах этих однородных компонент.
Интегральное преобразование, переводящее функцию/(х) на гиперболоиде [х, х] = 1 в функцию /г(|) на конусе [|, |] = 0, выполняется путем интегрирования по некоторым многообразиям на гиперболоиде, а именно, по орисферам пространства Лобачевского. Теория этих орисфер в нужной нам форме изложена в п. 4 § 1 главы V книги [15]. Там доказаны следующие утверждения.
