Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
ё{'11)=еЛ^~1)...ёп-i(9S=i).
Поэтому !?1л = 1л и> следовательно, гиперболическое вращение принадлежит подгруппе SO(n—1). Так как
g = g(n-l]h=gl(d"~l) ... ёп-Л%1-\)Н’
то наше утверждение доказано.
Как было показано в п. 3 § 1 главы IX, вращение h из подгруппы SO(n—1) можно представить в виде
h = ^
где
tfk)=gd»b ••• ft (Oft). (3)
и ^(a) — вращение на угол а в плоскости (xi+1, дг4). Отсюда вытекает следующее утверждение.
Любое гиперболическое вращение g из SH(n) можно представить в виде
g=gl'n~i)g(n~‘i) ... g(l), (4)
где g**1 имеет вид (3) п gk (а) при k <^п—1 является вращением
на угол а в плоскости (xk+l, xk), a gn _^ (a) — гиперболическим вра-
щением на «угол» а в плоскости (х„, x„_i).
504 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. X
Будем называть числа 0у, —1, 1 ^ k углами Эй-
лера гиперболического вращения g. Эти числа изменяются в следующих пределах:
Легко показать по аналогии с группой SO (п), что инвариантная мера dg на группе SH(ri) выражается через углы Эйлера по формуле
Представление Т(g) группы SH(ri) назовем представлением класса 1, если в пространстве $ этого представления есть вектор f0, инвариантный относительно всех преобразований Т(h), где h — элемент подгруппы SO(n—1). В этом параграфе мы дадим описание этих представлений и изучим их свойства.
1. Описание представлений Tna(g). Обозначим через ®ла пространство функций, заданных на верхней поле конуса [х, х] = 0, д:л^>0, и таких, что
1) функции /(х) бесконечно дифференцируемы в каждой точке верхней полы конуса,
2) функции /(х) имеют степень однородности о:
Очевидно, что если функция /(х) принадлежит пространству 23ла, то и функция /(g-~‘x), где g(^SH(n), также принадлежит этому пространству. Поэтому равенство
то Sna(g) является представлением группы SH(n).
Представление Sna(g) можно реализовать как представление группы SH(п) в пространстве бесконечно дифференцируемых функций на
OES0f< 2тг,
0 г=С 0" I J < со,
(5)
OsgiOy^ir в остальных случаях.
п—2 k n—\k
п — 1 k
х П П^19/ПП4 (в)
§ 2. Представления класса 1 группы SH(га)
/(ах) = аа/(х), а^>0.
О)
(2)
=/(^1йГ‘х) = ?ла (glgdf (х),
§2] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССА I ГРУППЫ SH (л) 505
сфере. Каждой функции /(х) из пространства 23ла поставим в соот-
ветствие функцию
F(l')=Qfa')=ffr, ..., 1)
на сфере Sn2— пересечении конуса [х, х] = 0 и плоскости хп=\. Очевидно, что функция /(х) однозначно определяется функцией F (%). Именно, в силу однородности /(х)
/4х) =/(*,> •••> *л-1. хп) =
=*?&......................................*?)• и
Отсюда иытекает, что операторы представления Sna (g) соответствуют операторам представления
Tn°(g)=QSn°(g)Q-i (4)
в пространстве 2) бесконечно дифференцируемых функций на сфере S’1*.
Если g принадлежит подгруппе SO(n—1), то оператор Тпа(g) нетрудно выписать в явном виде. Поскольку вращение h из SO(n— 1) переводит в себя плоскость хп=\, а тем самым и сферу Sn i, то
Tn°(h)F(l') = F(h Ч'). (5)
Таким образом, представление Tna (h) группы SO(n—1) совпадает с рассмотренным в п. 1 § 2 главы IX квазирегулярным представлением этой группы *).
Найдем теперь вид оператора Tna (gn^л (а)), где g-„4(i) — гиперболическое вращение на угол а в плоскости (хп, х„„,). Мы имеем
Tn°[gn-tMFGi, .... tn-l)=QSn°[gn-l(*)]f(tv U=
=/ (?i, ..., ch a — sh a, — \п_л sh a -f- ch a).
В силу однородности функции /(I) и соотношения (3) это равенство можно переписать в следующем виде:
Тп° [д._, (a)] F (ch а - sh а)" X
\/ р (_______________ ______^n- 2___ ?n— 1 ch a sh а \
^ V ch а — sh а ’ ’ ch а — sh а ’ ch а — sh а / ‘ *¦ '
Оператор Tna [§•„„, (а)] удобнее записывать в сферических координатах ср,, ..., срл_, на сфере Sn ‘г. Согласно п. 1 § 1 главы IX эти
*) В п. 1 § 2 главы IX квазирегулярное представление строилось в пополнении пространства Ф по норме
и/41*= 5 IF (§') |3 <*§'. s*-“
506 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. X
координаты связаны с декартовыми координатами ..., формулами
coscpft = ^t!±, sinofc = -^-,
