Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Представление Tnk (g) не является вполне приводимым, поскольку у" подпространства 91л_1> k нет инвариантного дополнения. Можно показать, что сужение Тпк (g) на подпространство 31л_1, * неприводимо. Неприводимо и представление, индуцированное Tlk (g) в фактор-про-страистве 3)/91л"1> к.
Приводимым является представление Т'1* (g) и в случае, когда о = — tt — k -L 2, где k — целое неотрицательное число. Инвариантным подпространством в 1г3(5"~а) является в этом случае ортогональное дополнение пространства 2F ’• к, т. е. пространство
ОО
2)л-‘-*= 2 (2) /=*+1
В самом деле, пусть функция Ф(|') принадлежит %)п~х’к, т. е. пусть для любого многочлена F (|') из й"-1-* выполняется равенство
(Ф, F) = ^(|')F(fV?' = 0, (3)
§2] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССА I ГРУППЫ SH (л) 511
Как было отмечено в п. 2, операторы Тп- —п — к+2 (g) и Tnk (g-'1) эрмитово сопряжены относительно эрмитова функционала (Ф, F). Поэтому
(7Х -л_* + 2 ф; /7) = (ф) Tnk ру (4)
Но если /7(|')6 то и Тпк (g F(|') ? ^[n ~x-k, а потому
(fn, —л—*4-— 0. Тем самым доказано, что для всех многочленов /•’(!') из 31” выполняется равенство
(7'л'-п-*+2(^)Ф, /?) = 0.
Следовательно, Tn’~n~k+2(g) ф?!Гя^1-*. Тем самым инвариантность подпространстаа ф"-1,fc относительно представления -рп, — л — *+2(g) доказана.
Представления, индуцированные представлением Тп-~п~к+2 в подпространстве I. й и фактор-пространстве неприводимы.
Доказательство этого утверждения проводится так же, как и для нецелых о.
И в случае з = — л — ?-|-2 представление Тпз (g) не является вполне приводимым — у подпространстаа ?« —'. * нет инвариантного дополнения.
5. Условия унитарности представления Tna(g). Выясним теперь, при каких значениях о представление 7V!a (g) группы SH(n) унитарно, т. е. когда в пространстве !D есть скалярное произведение (Fh F.2), инвариантное относительно операторов представления Tnz (g):
(Flt F.1) = ( T^(g)Fu Tn\g)Fi).
Сначала установим, когда в 53 есть инвариантная эрмитова форма, а затем, при каких условиях на о эта форма положительно определена. Сузим представление Тпа (g) на подгруппу SO(n— 1). Согласно формуле (1) п. 3 представление Т1” (h), h?SO(n—1) является прямой суммой неприводимых представлений Тп~ x’k(h) группы SO (п— 1), реализующихся в подпространствах ^л —'•*. При этом
СО
8* (5я 2)=
*=о
Поскольку инвариантное скалярное произведение в —'¦* определяется формулой
(Fv р*)„= \ ms')mIvs', ръ Fte$*-1.*,
sn~2
то инвариантное скалярное произведение (Ft, F3) должно иметь вид
СО
(Fi, FJ= \ F^(l')I^HX)dl', (1)
fc = 0 $п — 2
512 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ [ГЛ. X
гaeFi = ^t\ 1= 1, 2, F{t} е Из равенства (Л, Рд = (КК)
вытекает, что коэффициенты ak вещественны.
Нам осталось вычислить коэффициенты ak. Из инвариантности скалярного произведения (1) вытекает, что для любого инфинитезималь-ного оператора А представления Тпа (g) выполняется равенство
(AFu Ft)= AFi). (2)
В частности, оно должно выполняться и для инфинитезимального оператора
Л = - a cos?„_s- sin 2 Vn^—JL— ,
соответствующего однопараметрической подгруппе гиперболических вращений gn_x (а) (см. формулу (3) п. 3).
Возьмем
л — З
F\ = Ck 2 (cosffl„_8)
И
п — 3
Ft = C 2 (cos срл 2).
Применим для вычисления AF, и AF2 формулу (4) п. 3 и примем во
д-3
внимание, что (cos срл 2) принадлежит подпространству
Подставляя значения AFi и AF^ в формулу (2) и принимая во внимание равенство (1), получаем
-+^+7-ir±-1jh+^C0S *>Г sin":l?f/?==
о
= (n + k - ЗН^* + « - 2) j j-^ГТ- (cos у) J sin д- , у ^
о
Подставляя в это равенство значения интегралов (см. п. 5 § 3 главы IX), получаем следующее рекуррентное соотношение для коэффициентов ak:
(k — о) aft+1 = (п -)- k -)- о — 2) ak. (3)
В силу вещественности ak из равенства (3) вытекает, что либо ak+l = ak, либо о — вещественное число. В первом случае k — о = = я-)-й-)-а — 2, а потому
§ 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССА 1 ГРУППЫ SH(n) 513
где р — вещественное число. Во втором случае о = о, и потому
п -\- k + а — 2 а*+1 =------ft--c