Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
т Гк+1 ‘к r*+I’
где г| = а-; -[- ... —(- х%. Отсюда вытекает, что при одновременном делении координат ... , ?„_2 на ch x — sh а величины углов <р„ »„ 3 не изменяются. Угол же о„..2 преобразуется по формуле
cos о_ о ch а — sh а
COS »„_¦> = -
ch а — COS tp„_s sh a '
Следовательно, равенство (6) можно переписать так:
Тп° [gn л («)] Fi (cos cpj, ..., cos <p„_2) =
= (ch a — cos cp„._2 sh a)a X
r f cos<?и-» ch a — sh a\ ,
X Fi cos 9!, ... , cos сa. 3, - ---------—¦ . (7)
\ ‘ 1 ch a — cos tp„„2 sh я j v J
Представление Tna (g) является представлением класса 1, т. е. в пространстве этого представления есть функция Fo(|0, инвариантная относительно всех операторов Тпа (h), h SO(n— 1). Такой функцией является
(8)
2. Сопряженные представления. Рассмотрим представление Тп* (g)’, сопряженное представлению Тпа (g). По определению сопряженного представления, Тпа (g)r строится в пространстве ЗУ функционалов для пространства 35 и определяется формулой
(Г»°&)'Ф, К) = (Ф, T^(g l)F), (1)
где Ф?35',
Докажем, что представление Тп* {g)r является продолжением в пространство 35' представления Г"-_л_а+а (g). С этой целью каждой функции Ф(|') из 35 поставим в соответствие функционал
(Ф, /•')= ^ (2)
sn~-
в пространстве 3), и покажем, что
(Тп, я a+3 fer) ф; = (ф) Га fer l) /,). (3)
Поскольку каждый элемент g группы SH(n) может быть представлен в виде g= hign^i (а) Ы, где hu h^^SOin—1), то доказательство достаточно провести для случаев, когда g(^SO(n — 1) и
§2] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КЛАССА I ГРУППЫ SH (л) 507
когда g = g„ i(a). В первом случае наше утгерждение очевидно, поскольку при g^SO(n—1)
{ТП,- я а+2 fe) ф; F) = ^ Тп, - п- 1,1 {g) ф (Г) р {Ю dlr =
sn ~2
= ^ Ф(8'Г)Ра')сц'= ^ Ф(Г)r(si')di'=
sn-2 sn-2
= 5 Ф(1Г/'ла(,Г')/'(Г)^'=(Ф. Tn4g ’) п
сл -2
Пусть теперь g = gn^(a). В этом случае имеем по формуле (7) п. 1
\ Тп’ -л 0+2 (g) Ф • • •, 5Л .,) F (El, ..., <% =
= ^ (ch а — Е„_1 sh а) л~ а+2
Ф
Si S/i-
ch а—?/i_i sh а ’ “¦ ’ cha — g„_1sha’ ch a — sh a '
F(?» .)<*!'• (4)
Так как ??-f- ... -{-Vn -T0 в качестве независимых переменных в этом интеграле можно выбрать ?1( ..., $л 9. В этих переменных инвариантная мера d!% на сфере Sn 2 выражается формулой
г(—)
[ 2 } db ... dZn^
dl-—^i ^----------------------. (5)
2* 2
Сделаем в интеграле (4) подстановку
—Г----^-----Г—= Т1Й, 1 — 2.
cha—kn-i sh a 1 Легко показать, что
Sn-la —a ^л 1 ch a — sh a
d%— (ch a + rin 1 sh a) n Vi dv{.
После подстановки интеграл (4) принимает следующий вид:
5 (ch a + т]л л sh a)a Ф fa, ... , т1л_1) X
sn- 2
\/ р( Ъ Чп-и ^/i-i cha+sha\^ —
^ \ ch X Г)л_! sh а ’ ¦' ¦ ’ ch a-|-¦«l/i-i sh a ’ ch a -f- sh a j *
= 5 ф (Tj')r* [&_.(-a)]/7 (ift (6)
508 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ВРАЩЕНИЙ (ГЛ. X
Из равенств (4) и (6) следует
(- л~а+2 [&,_.(«)! Ф, П == (Ф, [gn^ (- а)] F).
Таким образом, соотношение (3) доказано и при g=gn._i(a). Но тогда оно верно для всех элементов g^SH(n).
Совершенно так же доказывается, чго нредыавление Тпа(g) эрмитово сопряжено с Тп' ~п~~а~2 (g). Надо лишь функции Ф(^) поставить в соответствие ангилинейный функционал
S ф(Г)^ТГ)^Г
sn-2
в пространстве 2).
3. Неприводимость представлений Тпа(g) при нецелых о. Докажем, что если о не является целым числом, то представление Тп* (g) неприводимо.
Рассмотрим сначала сужение представления Tna(g) на подгруппу SO(n—1). Мы уже говорили, что это представление совпадает с ква-зирегулярным представлением группы SO(n—1). Из результатов п. 7 § 2 главы IX следует, что Tna(h), h?SO(n—1) является прямой суммой неприводимых унитарных представлений Tn~l’k(h) группы SO(n—1): оэ
Tn°(h)= 2 Г"-1-*(А), й?50(л—1). (1)
