Специальные функции и теория представлений групп - Виленкин Н.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Оператор Д0 называют угловой частью оператора Лапласа Д или, иначе, оператором Лапласа на единичной сфере Sn x.
Можно показать, что оператор Д0 перестановочен с операторами квазирегулярного представления
ife)/(l)=/(r1l)
(это вытекает из более общего утверждения о перестановочности оператора Лапласа Д с движениями л-мерного евклидова пространства).
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА
489
Так как оператор Д0 перестановочен с операторами представления L (g), то сужение Д0 на пространство Jr>nl неприводимой компоненты Tnl (g) представления 2(g) кратно единичному оператору:
Д„/(|)=Цл, /)/(?), (7)
Чтобы вычислить коэффициент \(п, [), выберем в подпространстве функцию Зд| (|)> где М={1, I, .... /)• В силу формулы (4) п. 7 § 3 функция Ед|(!) имеет в этом случае вид
S^(l)=^sinien-I ••• sinV"01.
Подставляя эго выражение в формулу (7) вместо /(|) и используя выражение (6) для Д0, получаем \(п, /)= — 1(1-\-п— 2).
Итак, мы доказали, что все функции } (|) из подпространства Jr>nl (г. е. значения на сфере S’”1 однородных гармонических многочленов степени /) являются собственными функциями оператора Лапласа Д0, соответствующими собственному значению Х= — /(/-)-л — 2).
К этому же выводу можно прийти иначе.
Если /(|) ^ $п1, т0 ггУ(х/г) является однородным гармоническим многочленом степени I. Таким образом,
Аг7(*) = 0.
Переходя к сферическим координатам и используя формулу
Д __ 1 д _I_1_ Д
гп~1 дг дг ' г2 0
(см. формулы (5) и (6)), получаем искомый результат.
2. Полисферические координаты. Было показано, что все функции из пространства являются собственными функциями
оператора Лапласа Д0. Выбор базиса (|) в Jr>nl связан с тем, что он состоит из произведений функций, каждая из которых зависит лишь от одного переменного. Однако этот выбор не является единственным — на сфере есть и другие координаты, в которых оператор Лапласа Д0 допускает разделение переменных. Опишем один класс таких координат — полисферические координаты, частным случаем которых являются сферические координаты.
Рассмотрим некоторое дерево с п вершинами. Назовем корень дерева вершиной нулевого ранга; вершины, непосредственно соединенные с корнем, — вершинами первого ранга и т. д. Каждой вершине дерева поставим в соответствие декартову координату xk и перенумеруем эти координаты следующим образом. Координату нулевого ранга (т. е. соответствующую корню дерева) обозначим х0, координаты первого ранга — через х01, ... , jc0i, координаты второго ранга,
490
ГРУППА ВРАЩЕНИЙ л-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. IX
для которых соответствующие вершины соединены с координатой х№ — через хш, хт, ... , х9кт, и т. д.
Упорядочим координаты, считая, что координаты большего ранга предшествуют координатам меньшего ранга, а координаты одинакового ранга упорядочены лексикографиям чески. Например, для дерева, изображен-
ного на рис. 8, координаты упорядочиваются так:
Хоз
-^oiii *01. х03, -Поназовем координаты вида х0^.. ,,у .
подчиненными координате ... / . Координату Xqj ... j назовем существенно Рис. 8. предшествующей, координате Хо; ... i ,
если m>^s и jk = ik при 1 — 1,
a js<^is- В этом случае хо...i называют существенно последующей за хщ1 ... j .
Введем еще следующие обозначения. Число вершин, существенно предшествующих ... г , обозначим через pi^ а число вершин,
подчиненных вершине дгогх . .. гт> — через q... * .
Пусть хы1...1 —одна из вершин ненулевого ранга. Поставим ей в соответствие вращение g'(cp) на угол ср = ... в плоскости
(*<», . • • 1т ,> *01 ... 1 )
4 1 ТП—1 1 ™
x'i= х{ cos ср — xysin ср, xj= хi sin cp -j- xycos cp,
где для краткости положено xi = xm i и x,-= xoi . ; •
i * * m~ l J i'm
Обозначим через x0 точку на сфере, соответствующую координатной оси Ох0 и положим
х=П^(?«1.../т)х0, (1)
где произведение распространено на все вращения ^(ср^ ... ,• ), соответствующие вершинам дерева, причем эти вращения расположены в порядке следования координат. Например, для рис. 8 имеем
х = ^(сри)^(ср12)^(ср21)^Ы^Ы^(ср3) х0.
Выражение координаты jco/ ...j через углы ср,- . ,• имеет следующий вид. Обозначим через Pj ...j множество координат, подчиненных координате хоjl...js’ через Rj .../—множество координат, существенно последующих за ней, а через Sj ... j мно-
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНкЦИЙ И ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА
491
жество координат, которым подчинена Хо/^..j. Тогда имеет место равенство
без труда выводимое из формулы (1).
