Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
-S-ej0V (6-4-8)
причем начальные значения (X) — это некоторые произвольные постоянные. Чтобы убедиться в том, что эти координаты ^ действительно удовлетворяют (6.4.1), заметим прежде всего, что
JL-(g^D\D\) = 0. (6.4.9) § 5. Коммутации ковариантных дифференцирований 157
Это можно проверить путем прямого вычисления или еще проще, заметив, что (6.4.6) говорит как раз о том, что Dalltp исчезает, а также исчезает следовательно, равно нулю и (g»vDailD^v)] р.
Но, поскольку ^iivDafiDpv есть скаляр, сказанное означает, что исчезает и обычная производная этой величины. Но (6.4.7) и (6.4.5) показывают, что g?vDaflDpv равно rf? при х = Х, а поскольку эта величина является константой, то во всем пространстве установлено
тI^egIivDellDPv (для всех X). (6.4.10)
Из (6.4.8) и (6.4.10) немедленно следует уравнение (6.4.1).
§ 5. Коммутации ковариантных дифференцирований
Существует другой путь, позволяющий убедиться в том, что Rpvx указывает на наличие или на отсутствие реального гравитационного поля. Рассмотрим вторую ковариантную производную от ковариантного вектора Vx'
^V, Vt ч = Уц; V — TwtVft; X TfijtVvi г = QxV dxK —
дУх т-А т/ д ^ ^Ffi ,
Г* I Г* ra T/
Itev Д A.V' о-
Члены, содержащие первые и вторые производные от Vji, симметричны по V и и, но члены, включающие само V11, имеют антисимметричную часть:
Vm,; v; И —Vfi; х; V= —VaR"(6.5.1)
Точно так же можно показать, что
V\ v; H-V'; х; v = V0Ram. (6.5.2)
Подобные формулы справедливы для любого тензора, например,
Tx _Tx _Ta TJx Tx Da /с с о\
х h;V5K ± ц; к; V — 1 цЛ avx. — і on (b.o.o)
Таким образом, если тензор кривизны равен нулю, то ковариантные производные коммутируют, чего и следовало ожидать во всех системах координат, из которых можно перейти в систему координат Минковского. 158
Гл. в. Кривизна
§ 6. Алгебраические свойства
Алгебраические свойства тензора кривизны становятся намно-го яснее, если мы рассмотрим вместо его полностью кова-
риантную форму
=g%oRanvK- (6-?-i;
Используя (6.1.5) и (3.3.7), получаем
о 1 3 _„ Г ^PU , dgpv Ogilv Л і Q
f dgpfi dgp^ dgWri -j [ ^ 0 ^ Х ^p-1 +Л» U^w1-IlIxlvnI.
С учетом соотношения
Sxo-A Sap= - Sap "Ar Sm = - Sop (Пх?„а + I1^t,,)
OX от
придаем этой формуле вид R _¦ * Г Pgxv ^nv в^Ы , d^ -|
^v* 2 LdxKdxV дх*дзь дх* дх» dxv дх>-1
— [П!х?тіа + Г^стЯпЯ.] С + [Г%^т)а + Г3а?гіх] С +
+ gXa [Г^Гхт) — Гцхіуп]•
Большая часть членов типа ГГ сокращается, и в результате остается
R
1 Г d*gXv d2Syv ^gbt ^gllx п
2 L дх* дхх Oxv дх» ^ Oxv Oxx J^
2 L дх* дх» дх* д^ dxv дх» dxv дх%
+ S4O [Г&гїн-IbCl- (6-6.2)
Из формулы (6.6.2) видны алгебраические свойства тензора кривизны:
а) симметрия
#AHVX =-RvxXiJ,; (6.6.3)
б) антисимметрия
R%\.ivx= —-RuXvx — —RlILXV- + RiiXxv', (6.6.4)
в) цикличность
^Xuvx + RxtCiLV + #Xvxn — O- (6.6.5)
Мы уже отмечали, что при свертывании Д^х получается тензор Риччи
Rvm ^gxvRxlLV*. (6.6.6) § 7. Кривизна в N-мерном пространстве
159
Свойство симметрии а) показывает, что тензор Риччи симметричен
= #иці (6.6.7)
а свойство антисимметрии б) утверждает, что Rllit, по существу, единственный тензор второго ранга, который может быть образован из RxlIVK, поскольку, умножая (6.6.4) на gXv, gx» и gm, получаем
Дци= -gXviW= -ExvRx^v= +gXvRp.Xxv,
tfvRtv»* = g^Ru** =
Из свойства антисимметрии б) видим, что существует только« один способ свертывания Rxvvk для построения скаляра:
R = g^g^Rxv.™ = - g^g^R&v*,
О _ g^g™ Rxilvic.
Свойство в) исключает другой скаляр, который можно было бы образовать в четырехмерном пространстве:
-Ex^Rxliw = Q.
§ 7. Кривизна в ^"-мерном пространстве *
Рассмотрим здесь общий случай, когда пространство имеет N измерений. Чтобы подсчитать число алгебраически независимых компонент RxiivKJ Удобно принять обозначения Петрова [2], и считать RXjiv% матрицей R1X11-, <vx> с «индексами» (Х,ц) и (vx). Исходя из свойства (6.6.4), отмечаем, что число независимых значений каждого «индекса» равно числу независимых элементов антисимметричной матрицы в TV-мерном пространстве, т. е. lZiN (N — 1). Из условия (6.6.3) следует, что R*v) (VK) симметрична по этим «индексам», поэтому (6.6.3) и (6.6.4) сокращают число независимых компонент в RxvviC до числа независимых элементов симметричной матрицы в 1I2N (N — 1)-мерном пространстве, а это число равно
i-[iiV(iV-l)][lyV(7V-l)-l-l] = 4-iV(Ar-l) (iV2 — iV-f 2).
Далее свойства (6.6.3) и (6.6.4) делают также полностью антисимметричной циклическую сумму RxilvK + RxxiIV + RXvaiIJ так что условие (6.6.5) накладывает еще N (N — i) (N — 2) (N — 3)/4!' дополнительных связей, оставляющих в Rxvvy следующее число
*) Этот параграф лежит несколько в стороне от основной пинии Khotbf
и может быть опущен при первом чтении. 160
Гл. в. Кривизна
независимых компонент:
C2r--Ltf(JV-I) (N2-N+ 2)N(N-i) (N-2) (N-Z)t
или, после приведения подобных членов,
Cn = -N2 (N2-i). (6.7.1)
В одномерном пространстве тензор кривизны І?Ш1 всегда равен нулю, что видно из условий (6.6.4) или (6.6.5) или из формулы (6.7.1), определяющей C1 = 0 независимых компонент. Читатель вправе удивиться тому, что кривая линия имеет нулевую кривизну. Однако это лишний раз подчеркивает тот факт, что R^iivk отражает только внутренние свойства пространства, а не то, как оно вкладывается в пространство более высокой размерности. Действительно, мы отмечали, что правило преобразования метрического тензора в одномерном пространстве имеет вид
