Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. Механика частицы
Частицы, на которые не действуют никакие силы, обладают в специальной теории относительности постоянной четырехмерной скоростью Ua и постоянным спином Sa, т. е.
, (5.1.1)
•^ = 0. (5.1.2)
Напомним, что спин Sa определен в системе покоя частицы, где спин есть {S, 0}, так что в произвольной лореяцевой системе выполняется условие
SaUa = 0. (5.1.3)
Для того чтобы превратить эти уравнения в общековариантные, зададим векторы № и S11 в произвольной системе координат х» § 1. Механика частицы
139
следующим образом:
ir-JZLuf=**-, (5.1.4)
s^tm (5Л-5)
где Ufa и Sfa являются компонентами U и S в свободно падающей системе координат Хотя Uil и S11 являются векторами, dU?/dx и dSpjdx ими не являются, но мы констатировали в § 9 гл. 4, что можно определить производные векторов DUliIDx и DSilZDx, которые сводятся к обычным, когда Г?х = 0. Правильные уравнения, задающие положение и спин частицы, диктуются принципом общей ковариантности и имеют вид
пи» DSn
^T= °' -DT = 0 (5Л-6)
или, в более подробной записи,
-^- + ThlTUx = 0, (5.1.7)
It^-Sx-O. (5.1.8)
Кроме того, (5.1.3) следует записать теперь так:
SilUil = 0. (5.1.9)
Повторяя рассуждения § 1 гл. 4, заметим, что эти уравнения справедливы в присутствии гравитационных полей, поскольку они общековариантны, и справедливы в отсутствие гравитации, поскольку превращаются в уравнения (5.1.1) — (5.1.3), когда исчезает Гід- Принцип эквивалентности, таким образом, утверждает, что существуют локально-инерциальныесистемы координат, в которых (5.1.6) — (5.1.9) справедливы (при непременном условии достаточной малости рассматриваемой частицы), а общая ковариантность гарантирует, что эти уравнения выполняются и в лабораторной системе отсчета.
В уравнениях (5.1.7) и (5.1.8) мы узнаем дифференциальные уравнения параллельного переноса векторов U» и S11. Поскольку С/н == dx»/dx, уравнение (5.1.7) не что иное, как известное уравнение для свободного падения, которое было получено выше путем дифференцирования (5.1.4) по т и подстановки (5.1.1). Очевидно, что мы избегаем утомительных вычислений, используя общую ковариантность. Уравнение (5.1.8) описывает прецессию гироскопа при свободном падении и будет обсуждаться в гл. 9. Здесь 140
Гл. 5. Эффекты гравитации
отметим только, что произведение iS^iS^ постоянно, поскольку обычная производная от скаляра — это то же самое, что его ковариантная производная
^(^) = ^(5^) = 0. (5.1.10)
Если частица не находится в состоянии свободного падения, то производная DU11IDх не равна нулю и вместо (5.1.7) надо писать
DU^ F IK Л 4
-DTsIT' (5ЛЛ1>
где т — масса частицы, а — контравариантный вектор силы. Последнее можно записать и так:
dH» ,м „ dxv dx'-
dx2 ' VA dx dx •
Член, содержащий ягГ^, играет роль гравитационной силы. Мы можем всегда вычислить f», если знаем его значение /" в свободно падающей системе отсчета Действительно, условие, требующее, чтобы сила /» вела себя как вектор, позволяет записать его единственным способом:
P1 = ^ff- (5.1.12)
Электромагнитная сила будет определена в следующем параграфе.
Иногда оказывается, что на частицу действует сила, которая не создает крутящего момента. В этом случае наблюдатель в ло-кально-инерциальной системе отсчета, находящийся в данный момент в покое относительно частицы, не будет наблюдать никакой прецессии оси спина, т. е. dS/dt будет равна нулю. Но при таком выборе системы координат dx/dt также исчезает, и мы можем записать в общем виде условие отсутствия крутящего момента в лоренц-инвариантной форме:
d^ Ua.
dx
Это условие будет оставаться справедливым в любой локально-инерциальной системе координат, в сопутствующей и любой другой. Возникает вопрос о коэффициенте пропорциональности. Положим, что
= Ф СЛ
ах
Вспомним теперь, что Sa определяется так, что SaUa = 0. Это приводит к соотношению
JL (SaUa) = OUaUa + Stt^- = O, § 2. Электродинамика І4І
а потому
dTIa Iа
Следовательно, вектор спина изменяется согласно уравнению
jSH^K <5ЛЛЗ>
Это явление известно как томасовская прецессия [1]. Если мы теперь включим гравитационное поле, уравнение (5.1.13) и принцип общей ковариантности приведут нас к следующему закону для прецессии спина:
I с /v \ Г7П с
Dx
= (^^-)^ = ^-?-^. (5.1.14)
Принято говорить, что вектор, удовлетворяющий этому дифференциальному уравнению, подвергается переносу Ферми [2]. Параллельный перенос — это специальный случай, имеющий место при /Iа = 0.
§ 2. Электродинамика
Напомним, что в отсутствие гравитационных полей электродинамические уравнения Максвелла записываются в виде
JL ^P= (5.2.1)
дха v '
^57 + ^va+ "J^ ^P==O, (5.2.2)
где J^ есть 4-вектор (J, є}, a Fa^ — тензор электромагнитного поля, причем Fi2==B3, F0i = Ei и т. д. (см. § 7 гл. 2). Предположим, что мы задаем Fiiv и Jv" в произвольных координатах, требуя, чтобы они сводились к Fap и J^ в локально-инерциаль-ных координатах Минковского и чтобы они вели себя, как тензоры при произвольных преобразованиях координат (т. е. если Fa^ и Ja — значения, измеренные в локально-инерциаль-ной системе отсчета, то справедливы соотношения FlivS = (дз?/д1а) (dxvldlе) Faf" и Zli г {дх»1д1*) Ja). Можно тогда превратить уравнения (5.2.1) и (5.2.2) в общековариантные, заменяя все производные ковариантными производными:
