Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
С = О,
так что число его линейно-независимых компонент равно
JLn2(^-1)-1^ + 1) = ^(^ + 1) {N + 2) (iV—3).
(Из выражения (6.7.6) сразу следует, что для N = 3 имеем Cx^vk = о.) Исключая вырожденные случаи, все инварианты кривизны могут быть составлены только из компонент тензора Вейля (при том единственном выборе системы координат, при котором Ruv и g-)iv диагональны, причем элементами gvV являются +1, —1 и О) и собственных значений Rvv. Однако этот подсчет неправилен, если некоторые собственные значения Rixv вырождены. Особенно интересный случай возникает, когда Riiv равен нулю, что, как мы увидим в следующей главе, соответствует наличию физических гравитационных полей в пустом пространстве. В этом случае инварианты кривизны для N = 4 суть 10 нулевых компонент Rixv (равенство нулю тензора — инвариантное утверждение) и четыре величины
„Ац рр aVKn pkVuVKp В poo ^ Xuvx
Ls '-'X?vx! ^/= •
Ajiwt^ t^ і
r nvxp a Tgy-. Ац Ай uHpо ^rj
po ' V*
Петров [2] дал эквивалентное описание четырех неисчезающих инвариантов кривизны как корней секулярного уравнения и классифицировал различные алгебраические типы тензора Вейля в соответствии с вырожденностью этих корней. В заключение подчеркнем, что (6.7.7) дает число алгебраически независимых инвариантов кривизны. Среди этих инвариантов, вообще говоря, имеются дифференциальные связи, так что число функционально независимых инвариантов кривизны меньше, чем определяемое по формуле (6.7.7).
11* 164 Гл. в. Кривизна
§ 8. Тождества Бианки
Тензор кривизны удовлетворяет важным дифференциальным тождествам в дополнение к алгебраическим тождествам, приведенным в § 6. Легче всего эти тождества получить, вводя в рассматриваемой точке локально-инерциальную систему координат
л '
в которой Г,J1V (но не ее производные) равны нулю в этой точке. Тогда в точке х выражение (6.6.1) дает
R
= _1_д_ / d*gu ^gllv d2g%K f?gw/, к
tI 2 дхч \ дх* dxv. дх* дхх dxv. dxv т" dxv дхх ) •
Все другие члены — по крайней мере первого порядка по Г. Путем циклической перестановки v, и и т] получаем тождества Бианки:
ДАЦЛ>И; Г) + -Rahtiv; И + ДАЦИТІ; V = 0. (6.8.1)
Эти тождества явно ковариантны, так что если они найдены в какой-либо инерциальной системе, то тем самым они найдены и в общем случае. (Их можно, конечно, проверить также с помощью прямых вычислений.)
Особенно полезна нам будет свернутая форма (6.8.1). С учетом того, что ковариантные производные от gXv исчезают, свертывая Ahv, находим
R\ли; п—Дцті; и+ДГциті; V = 0- (6.8.2)
Свертывая это соотношение еще раз, получаем
R;n — Д%; и—-R ті; V = Oi
или
(R\- І O\h)^ = 0. (6.8.3)
Эквивалентная, но более известная формула имеет вид
(fluv _JL gvvR j =о. (6.8.4)
§ 9. Геометрическая аналогия *
Ранее в этой главе мы видели, что неравенство нулю тензора Rkhvx отражает существование гравитационного поля. В гл. 1 мы также указывали, что Гауссу пришлось ввести «гауссову кривизну» К = —Д/2 как меру отклонения двумерной геометрии от евклидовой, а Риман впоследствии ввел тензор кривизны RxVtvx, чтобы обобщить понятие кривизны на случай пространств
*) Этот и следующий параграфы лежат несколько в стороне от основной линии книги и могут быть опущены при первом чтении. § 9. Геометрическая аналогия
165
большего числа измерений. Таким образом, нет ничего удивительного, что Эйнштейн и его последователи рассматривали эффекты гравитационного поля как следствие изменений геометрии пространства и времени. Одно время казалась обоснованной надежда найти геометрическую формулировку всей остальной физики, но эта надежда не оправдалась, а геометрическая интерпретация теории гравитации свелась просто к аналогии, оставившей нам такие термины, как «метрика», «аффинная связность», «кривизна», и не очень полезна в других отношениях. Важно, что мы можем делать предсказания относительно изображений на астрономических снимках, о частотах спектральных линий и т. д., її. в конце концов, не так уж важно, приписываем ли мы эти предсказания физическим воздействиям гравитационных полей на движение планет и фотонов или искривлению пространства и времени. (Читателя следует предупредить о том, что такие взгляды не являются ортодоксальными и встречают возражения со стороны многих специалистов по теории относительности.)
Все же, игнорируя предыдущее замечание, полезно привести без доказательства выражение, показывающее, как тензор Rilivx связан с кривизной риманова пространства. Рассматривая точку X в пространстве произвольного числа измерений и задавая в ней два вектора а» и Ъ^, можно построить семейство «геодезических кривых» х»- = х^ (х, а, ?), проходящих через эту точку; уравнения оказываются следующими:
d2Xlx , ^m, dxv dx%
' TvX Jt J,. — O1
dx2 dx dx
Числа а и ? здесь могут принимать все действительные значения. Эти кривые заполнят двумерную поверхность S (а, Ь), содержащую точку X, и гауссова кривизна этой поверхности в точке X будет равна (см. [4], разд. 28)
К (а, Ъ) --BuimtaHW--(6 91)
Из соотношения (6.7.4) следует, что в двух измерениях К (а, Ъ) не зависит от а и Ъ и равно как раз —Rl2.
