Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
, _ / dx \ї
gii~\~d?~) 8llt
так что g'u можно сделать в нем равным ± 1 повсюду, выбрав
х' = J dxV±gn.
В двумерном пространстве условие (6.7.1) оставляет в Rx1Ivk', тольку одну независимую компоненту, которой можно считать i?1212; другие компоненты связаны с -R12I2 соотношением (6.6.4):
Д1212 = - ^2112 = -R1221 — ^2121»
-Rllll 1 -R1122 = Rail = -R2222 = 0.
Эти формулы можно записать в более компактной форме:
Rx\im — (gxvg\ix — g}.*gv.v)
ДІ2І2
g
где g—детерминант, равный #11^22 — Свертка % и v дает тензор Риччи
Дцх = g?x , (6.7.2) а свертка цих приводит к скалярной кривизне
Д = (6.7.3) Таким образом, тензор кривизны равен
RxUVV = -9 R (gXvg»K — ЯXKglIv)- (6.7.4) § 7. Кривизна в N-мерном пространстве
161
Гауссова кривизна К, введенная в § 1, гл. 1, связана с R следующим образом:
к = -^= (6.7.5)
(Коэффициент —V2 имеет чисто историческое происхождение.) Выражение (1.1.12) следует из (6.6.2) и, (6.7.5).
В трехмерном пространстве формула (6.7.1) говорит о том, что тензор кривизны имеет шесть независимых компонент. Это также число независимых компонент тензора Риччи Riix в трехмерном пространстве, а потому можно предвидеть, что R^iIW в этом случае выражается только через Rvx. Используя свойства ковариантности, симметрии и свертывания Rxiim, можем угадать, что это соотношение имеет вид
Rxiiv« = SxvRiM — SxkR\iv — ShvRxk ¦+ SiInRXv —
— "2 I(SxvSmx — Sx«Shv) r- (6.7.6)
Чтобы доказать (6.7.6), выберем систему координат, в которой gvv исчезает при j*, неравном v, в некоторой точке X. (Этого можно достигнуть, выбрав дх'»/дхх в точке X в виде ортогональной матрицы, которая диагонализирует guv в X.) В этой системе в точке X имеем
ЯІ2=?33#І323>
так что в соответствии с (6.7.6) выполняется соотношение
^1323 — SsZ^ii-
Кроме того, имеем
Rii = s22RiM +s33rm3,
^22=^2323 + ^2121,
откуда, опять-таки в соответствии с (6.7.6), получаем SiiRu + SuR^ = Жан + g23 iSuRisiz + SuRiw) =
= Й1212 + ?Н?22 (SliS22rmi + SiiS33rms+S22S33risiz)
или
\
Ran = ?22^11 + SiiRa — Y SiiSaR-
Остальные независимые компоненты, Rxiiw, R12-I3, Rni3-> ^2323 и ^зізи могут быть получены из Rls23 и R1212 перестановкой индексов 1, 2, 3. Таким образом, (6.7.6) справедливо и для этих компонент. Так как выражение (6.7.6) найдено в системе координат, которые ортогональны в точке X, и является явно кова-риантным выражением, оно справедливо в общем случае.
11—0788 162
Гл. в. Кривизна
Полный тензор Рнмана — Крнстоффеля необходим для описания кривизны пространства только в том случае, когда число измерений пространства равно четырем и выше. Например, в четырехмерном пространстве [см. (6.7.1)] приходим к тензору кривизны с числом независимых компонент, равным двадцати, a Rllil имеет только 10 независимых компонент, так что Rxilvh имеет 10 компонент, помимо тех, что выражаются через Rllil.
В общем случае кривизну TV-мерного пространства описывает тензор RxiIvx своими 1IliN2 (N2 — 1)-компонентами, однако описывает неинвариантным образом, так как значения этих компонент зависят не только от внутренних свойств пространства, но и от конкретного выбора системы координат. Инвариантные характеристики кривого пространства — это скаляры, которые надо построить из RxiIvn и Подсчитаем число таких скаляров. Всего мы можем задать в данной точке X при произвольном преобразовании координат X ->¦ х' N2 величин dx'^ldxv. Следовательно, на 1IiiN2 (N2 — 1) независимых компонент Rxlivx и 1I2N (TV+1) независимых компонент в этой точке могут быть наложены с помощью произвольных преобразований координат N2 алгебраических условий. Поэтому число независимых скаляров, которые можно построить из Rxilvk и SrHVi равняется
-L- N2 (N2 — 1) 4- TV (TV +1) — TV2 = -L TV (TV — 1) (N — 2) (N + Щ.
(6.7.7)
Случай N = 2 — исключение из этого правила, поскольку в двумерном пространстве существует однопараметрическая подгруппа преобразований координат, которая не затрагивает g-uv и RxiIw Истинное число инвариантов в этом случае не нуль, а единица, что соответствует самому скаляру кривизны. Подобного эффекта нет для пространств более высоких размерностей, так что для TV ^ 3 правило (6.7.7) справедливо. В случае N = 3 из (6.7.7) следует, что имеются три скалярные кривизны, которые удобно выбрать в виде трех корней секулярного уравнения
Det (Rilv-^giiv) = 0 или, эквивалентно, в виде трех величин
R, RiivR і
HV Detfl
Iiv" ' Det g
Для N = 4 выражение (6.7.7) приводит к четырнадцати скалярам кривизны. Чтобы перечислить их, а также для других целей, удобно разложить RxiLVK таким образом, чтобы оп зависел только от тензора Риччи и величины Cxllvx, которая не имеет никаких нетривиальных сверток. В пространствах TV ^ 3 измерений такое § 7. Кривизна в N-мерном пространстве
163
разложение выглядит следующим образом:
N — 2 (ё^йци — — gVvRxx g\ixRlv) —
" ^jy_^ ^дг_2) (gXvgfiK gXxgfiv) + Cahvx-
Тензор C^iIVK называется тензором Вейля [3J или конформным тензором. (Последнее название дано потому, что необходимым и достаточным условием существования координатной системы, в которой gMV пропорционально постоянной хматрице во всем пространстве, является равенство нулю тензора Cxvw во всем этом пространстве, см., например, [4].) Этот тензор имеет те же самые алгебраические свойства, что и Rxilvx, и, кроме того, удовлетворяет 1Z2N (N + 1) условиям
