Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
6* •84
Гл. 3. Принцип эквивалентности
спутник из-за наличия Солнца и обращения Земли, равны гравитационной и инерционной силам, действующим на Землю, умноженным на отношение гравитационной и инертной масс (если пренебречь расстоянием между спутником и центром массы Земли).
Таким образом, получается, что эти две силы не будут уравновешиваться для спутника, причем гравитационная сила будет больше инерционной силы на 8,4 «Ю-10. Ускорение из-за тяготения к Солнцу на околоземной орбите составляет 6-Ю"4 от ускорения в поле тяжести Земли на ее поверхности. Отсюда следует, что если гравитационная энергия связи Земли полностью входит в ее инертную массу и не дает вообще никакого вклада в ее гравитационную массу, тогда искусственный спутник на проходящей близко у Земли орбите будет эффективно чувствовать притяжение к Солнцу, равное гравитационному притяжению к Земле, умноженному на коэффициент 5,4-IO-13. Этот крошечный эффект полностью маскируется «приливной» силой, возникающей из-за того, что расстояние между спутником и центром массы Земли велико, и нет надежды измерить этот эффект*). Это весьма огорчительно, поскольку такое измерение оыло бы явно самой строгой проверкой применимости принципа эквивалентности к гравитационным полям, из которого мы будем исходить в гл. 5 при получении уравнений поля Эйнштейна.
§ 2. Гравитационные силы
Рассмотрим частицу, свободно движущуюся под действием чисто гравитационных сил. Согласно принципу эквивалентности, имеется свободно падающая система координат в которой частица движется по прямой линии в пространстве-времени, что описывается уравнением
= 0, (3.2.1)
dt2
где dx — собственное время
^T2 = (3.2.2)
[Ср. уравнения (2.3.1) и (2.1.4).] Предположим теперь, что мы взяли любую другую систему координат Xtl, которой может быть система декартовых координат, покоящаяся относительно лаборатории, а также криволинейная, ускоренная, вращающаяся или любая другая система по нашему желанию. Координаты ^a свободно падающей системы отсчета являются функциями от хи
4) См., однако, стр. 11, 12 — Прим, ред. § 2. Гравитационные силы
85
уравнение (3.2.1) принимает вид
d I dla dx\ _ dla dW д*1а dxdxv __ Q dt V dx^ dx ) ~ dx2 + QxV- ^v dx dx ~
Умножая это уравнение на дхх/<9|а и используя известное правило умножения, получаем
dla дхх
—--= Ou,
дх» діа ц
что приводит к следующему уравнению движения:
^+Itvgg = O, (3.2.3)
-это аффинш
образом:
где F^v — это аффинная связность, определяемая следующим
X *Х_ (3 2 4)
^v яе« я-r-V- v '
^x = d^a ' д\а дх» дх3
Собственное время (3.2.2) также может быть выражено в произвольной системе координат:
Л» = - гы g dx-, (3.2.5)
или
Cix2= -gjXVdx^dx\ (3.2.6)
где g?v—метрический тензор, который определяется так:
dIa ^ /о п п\
Для фотона или нейтрино уравнение движения в свободно падающей системе отсчета такое же, как (3.2.1), за исключением того, что собственное время (3.2.2) уже нельзя считать независимой переменной, поскольку для частицы с нулевой массой правая часть (3.2.2) исчезает. Вместо т можно использовать ст = ^0,
так. что (3.2.1) и (3.2.2) принимают вид
a^ = Q
da2
Лвр da da U'
Действуя так же, как и выше, находим, что уравнение движения t! произвольном гравитационном поле в произвольной системе •86
Гл. 3. Принцип эквивалентности
координат записывается следующим образом:
^ +1^Srs? = 0. (з-2-«)
IfSF = 0' (3-2-9)
где Г^ и ^v определяются по-прежнему выражениями (3.2.4) и (3.2.7).
Между прочим, как в (3.2.3), так и в (3.2.8) нет необходимости знать, что такое т и а для определения движения нашей частицы; решения этих уравнений суть xv- (т) или X^x (а), а т или а могут быть исключены при нахождении х (t). Мы привели формулу (3.2.6), чтобы показать, как вычисляется собственное время; формула же (3.2.9) показывает, как вводятся начальные условия для частицы с массой, равной нулю. В частности, уравнение (3.2.9) говорит нам о том, что время dt, за которое фотон проходит расстояние dx, определяется из квадратного уравнения
goo dt2 + 2gi0 dx{ dt -f g,j dx1 dxj = 0, где і и j пробегают значения 1, 2, 3. Решение его имеет вид
J-[-giodxi-{(giogjn-gugoo)dxidxi}1/2]=dt, (3.2.10)
и, таким образом, время, за которое свет проходит какой-либо путь, можно вычислить, интегрируя dt по этому пути.
Значения метрического тензора и аффинной связности T^v в точке X в произвольной системе координат — достаточная информация для определения локально-инерциальных координат Iа (х) в окрестности точки X. В самом деле, умножая уравнение (3.2.4) на д\^Ідхх и используя правило умножения
дхх
-6?
Oxx dija
приходим к дифференциальному уравнению ДЛЯ Ea:
d^a (3.2.11)
дз» дх~° ^v дх% ' Решение его имеет вид
Iа (х) = а« + (X* - Xм) +± b\Tlv - X*) (х- -Xv) -H ...,
(3.2.12) § 3. Связь между g?V и Грд>
87
где
a« = I06(X), = (3.2.13)
Ол
Цз уравнения (3.2.7) находим также, что
= Bliv(X). (3.2.14)
f 1K
Таким образом, при заданных в точке X значениях Tixv и g?v
