Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
101
§ 6. Знаки времени
Связь метрики Минковского 1]a? И метрического тензора g^v теории гравитации может быть записана в матричной форме:
? = Z?tTIZ). (3.6.1)
Под g будем подразумевать в этом параграфе матрицу размера 4 X 4 (не детерминант), чьи элементы суть gliv; і] — матрица с элементами r|a]3; D — матрица определяемая, как
^ = (3.6.2)
а транспонированная матрица Dt равна
D\ia = Da^l.
Ранее мы, специально не оговаривая, предполагали как часть принципа эквивалентности, что преобразование от лабораторных координат х» к локально-инерциальным координатам несингулярно: — дифференцируемая функция ха х» — дифференцируемая функция Ea. Из этого следует, что существует матрица
Ща (3.6.3)
обратная к D, т.е.
V df- dxV V'
так что D должно иметь неисчезающий определитель
Det D ф 0. (3.6.4)
Преобразование типа (3.6.1) при отличающемся от нуля определителе D называется конгруэнцией.
Тот факт, что glLV связано с г|а]3 конгруэнцией (3.6.1), не означает, что собственные значения ^tiv те же самые, что у i]a?, как было бы в случае преобразования подобия. (Действительно, нельзя составить никаких инвариантных функций из компонент метрического тензора, хотя можно составить инвариантные функции из Smv и его производных, как будет показано в гл. 6.) Однако существует теорема, известная как закон инерции Сильвестра (см., например, [14]), которая утверждает, что числа собственных значений, положительных, отрицательных и нулевых, не изменяются при конгруэнтных преобразованиях. Отсюда вывод: метриче- •102
Гл. 3. Принцип эквивалентности
ский тензор g^ должен аналогично Tia? иметь три положительных собственных значения, одно отрицательное и ни одного собственного значения, равного нулю. Это свойство метрики отличает наше (3 + 1)-мерное пространство-время от 4-мерного или от (2 + 2)-мерного пространсгва-времени, или каких-либо еще более «плохих» метрик.
§ 7. Относительность и анизотропия инерции
В § 3 гл. 1 мы уже видели, что Ньютон и Мах по-разному смотрели на проблему происхождения инерции. Ньютон полагал, что инерциальные силы, такие, как центробежные, должны возникать из-за ускорения относительно «абсолютного пространства», в то время как Мах считал более вероятным, что инерциальные силы порождаются общей массой небесных тел. Отличие утверждений не метафизическое, а физическое, поскольку если бы Мах был прав, то большая масса могла бы вызывать малые изменения ипер-циальных сил вблизи нее, если же Ньютон был бы прав, такие эффекты не возникали бы.
Эйнштейн считал себя последователем Маха, но в действительности разрешение этой проблемы на основе принципа эквива-летности находится где-то между точками зрения Ньютона и Маха. Инерциальные системы отсчета, т. е. «свободно падающие системы координат», действительно определяются локальным гравитационным полем, которое создается всей материей Вселенной, ее частями, расположенными далеко и близко. Однако в инерциальной системе отсчета па законы движения [такие, как (2.3.1)] присутствие iiacc вблизи уке пе влияет ни гравитационным, ни каким-либо другим путем. Например, масса Солнца определяет движение свободно падагоцэн Земли, но как только мы связали нашу систему отслетд с Землей, мы не можем обнаружить гравитационное пою Солнца, что демонстрирует с большой точностью эксперимент Циккз. (Вспомним § 2 гл. 1. В действительности, из-за того, что Земля не является бесконечно малым объектом, мы мо.кем наблюдать иоле Солнца благодаря эффектам приливов, как это осуждалось уже в § 1 гл. 3.) Небесные тела фигурируют здесь потому, что уравнения гравитационного поля нуждаются в граничных условиях на бесконечности, а последние задаются требованием, чтобы на больших расстояниях от Солнца g?V переходило в космическое гравитационное поле, создаваемое всей массой Вселенной. Мы не будем пока вникать в детали уравнений поля и космологии, однако можно ожидать, что гравитационное иоле, создаваемое массой Со ища и этими космологическими граничными условиями, таково, что орбиты планет, проходящие далеко от Солнца, не прецессируют относительно репертшх звезд; последнее согласуется с наблюдениями (см. § 1 гл. 15). § 7. Относительность и анизотропия инерции
103
Фиг. 3.1. Проверка изотропности инерции с помощью спектра поглощения Li7.
Разности в частотах и расщепление линии сильно увеличены.
Эти положения настолько важны, что не мешает обсудить их подробнее. Если нет близко расположенных масс, инерциальные сіістемьі отсчета определяются средним космическим гравитационным полем, которое в свою очередь определяется средней плотНОСТЬЮ масс звезд во Вселенной, и, таким образом, не удивительно, чго эти инерциальные системы отсчета находятся в покое или is состоянии равномерного некриволинейного движения относи-I-Vfbiio каких-то далеких звезд. Если бы близко находилась большая масса, подобная Солнцу, то она изменила бы инерциальные і'!Ч'.темы отсчета таким образом, что они стали бы ускоряться в направлении этой массы; законы движения в этих свободно падающих системах отсчета остаются теми же, что и в специальной теории относительности, и не подвержены никакому влиянию со стороны окружающего распределения масс. В этом смысле принцип эквивалентности и принцип Маха прямо противоположны.
