Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
При таком определении Ua в сопутствующей системе имеем
Ni= 0. (2.11.6)
Из сравнения (2.11.3) — (2.11.6) с (2.11.1) и (2.11.2) следует, что в сопутствующей системе на диссипативные члены А Та$ и AiVa накладываются следующие ограничения:
АГ00 = AiV0 = AiVi = 0, (2.11.7)
и, следовательно, в любой лоренцевой системе будет выполняться условие
UaU^ATaP = O, (2.11.8)
AiVa = O. (2.11.9)
Таким образом, все эффекты, связанные с диссипацией, появляются как вклады в тензор АТа$. Наша задача теперь — построить наиболее общий диссипативный тензор ATlaP, который удовлетворял бы уравнению (2.11.8) и второму закону термодинамики.
Для этой цели вычислим энтропию, возникающую при движении жидкости. Как и в предыдущем параграфе, начнем с того, что свернем выражение (2.8.7) с 4-вектором Ua:
UaJjTaV = о_ (2.11.10)
Исходя из тех же соображений, которые были использованы при выводе (2.10.19) для идеальной жидкости, убеждаемся, что в общем случае выполняется соотношение
Ua [ptf?+ (Р + Р) UaU^] =_kTJ_ {nGUa} t
где T и ак — температура и приходящаяся на одну частицу энтропия, определяемые уравнением (2.10.18). Следовательно, (2.11.10) § 11. Релятивистская реальная жидкость
69
запишется так:
JL = ^-А
или в эквивалентном виде,
35а _ 1 диа , „a? , 1 дТ
ATaV+ -J ^J UaATaV, (2.11.11)
дха T ftjP 1 Т* дхї>
где
Sa = HkoUa-T-lUpATaV. (2.11.12)
Плотность энтропии в сопутствующей системе равна nko = S0, так что Sa можно рассматривать как 4-вектор тока энтропии, и, следовательно, выражение (2.11.11) дает скорость прироста энтропии в единичном объеме. Далее, второй закон термодинамики требует, чтобы ATaP было линейной комбинацией градиентов скорости и температуры. Следовательно, правая часть (2.11.11) положительна для всех возможных типов течения. Заметим, что это стало возможным только из-за включения в уравнение (2.11.12) второго члена. Без него величина dSa/dxa не была бы квадратичной формой первых производных и, следовательно, не могла бы быть положительной для всех типов течения. Более того, тензор AJaP не должен содержать градиентов р, р, п и других величин, так как тогда в формулу (2.11.11) входили бы произведения градиентов давлений или плотности на градиенты скорости или температуры, а эти произведения не обязательно положительны для любых типов течения.
Теперь удобно перейти в сопутствующую систему координат, в которой Ua имеет в заданной пространственно-временной точке P форму (2.11.5). Из (2.10.17) следует, что в такой системе все градиенты U0 обращаются в точке P в нуль. Полагая в уравнении (2.11.11) U1, OU0Idxa и ДГ00 равными нулю, найдем, что в точке P в сопутствующей лоренцевой системе скорость прироста энтропии, приходящейся на единицу объема, равна
4^=-(4-^ + w — ) ATio -J ^r Ari. (2.11.13)
дха \Т T2 дхг ) T дх>
Для того чтобы это выражение было положительным всегда, Должны выполняться соотношения
Ario= -% (JJ+ TUi) , (2.11.14)
\ дх* '
ATij= -r\(JJ + JJ-1V-Ueij-)-SV-Uo;; (2.11.15)
' дхі дхі " '
с положительными коэффициентами
х>0, п>0, ?>0, (2.11.16) 70
Гл. 2. Специальная теория относительности
и, следовательно, (2.11.13) запишется в виде
За исключением релятивистской поправки TU, вид (2.11.14) и (2.11.15) тот же, что и в нерелятивистской теории реальных жидкостей [8], и, следовательно, величины %, Г) и ? можно отождествить соответственно с коэффициентом теплопроводности и двумя коэффициентами вязкости: вязкости сдвига и объемной вязкости.
Теперь нам остается только придать нашим результатам (2.11.5) (2.11.7), (2.11.14), (2.11.15), справедливым в такой форме только в сопутствующей системе отсчета, вид, который был бы справедлив в любой лоренцевой системе. Определим для этого тензор сдвига как
UT dUa , duP 2 dUv т ЛА ,о\
w^lJ+IZr-T1**!*' (2Л1Л8>
тепловой поток как
Q^^ + T^U* (2.11.19)
и тензор проецирования на гиперплоскость, нормальную к Ua,
ЯаР = г)аР + UJJp (2.11.20)
Можно непосредственно проверить, что в сопутствующей лоренцевой системе отсчета тензор АТа$, записанный следующим образом:
АГ P = - г]Hav H^Wyb - % (HayUti + HVyUa) Qy -
-IHaV-^ (2.11.21)
дху
удовлетворяет соотношениям (2.11.7), (2.11.14) и (2.11.15). Поскольку формула (2.11.21) лоренц-инвариантна и справедлива в сопутствующей лоренцевой системе отсчета, она справедлива во всех лоренцевых системах.
Исходя из соображений размерности, можно вообще ожидать, что коэффициенты хт, 1H и ? имеют тот же порядок, что и давление или плотность тепловой энергии, умноженные на некоторое среднее время. Существуют, однако, важные частные случаи (см., например, [11]), когда объемная вязкость ? много меньше, чем г) или хт- Чтобы увидеть, когда такие ситуации возникают, заметим, что выражения (2.11.1) и (2.11.21) приводят к следующему значе- § 11. Релятивистская реальная жидкость
71
нию следа полного тензора энергии-импульса:
Fa = Bp- (2.11.22)
дху
Пусть мы имеем дело со средой, для которой этот след можно выразить как функцию только риге:
