Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
T* = pbih (2.10.1)
Tia = T0i = 0, (2.10.2)
Г00 = р. (2.10.3)
Коэффициенты р и р называются соответственно давлением и плотностью собственной энергии.
Перейдем теперь в лабораторную систему отсчета и предположим, что в этой системе жидкость движется (в рассматриваемой пространственно-временной точке) со скоростью v. Тогда связь между сопутствующими координатами х$ и координатами лабораторной системы ха имеет вид
*a = Aa?(v)*p,
где Л°р (v) — буст, определенный выражениями (2.1.17) — (2.1.21). Поскольку TaV есть тензор, то в лабораторной системе он будет выглядеть так:
Tap = Aa7(V) Ap6 (V) Ty6, или, в более явной форме,
TV = Pbij+(р + р)^^, (2.10.4)
Tio = (р + Р) -jzr^r • (2.10.5)
Г00= ^+У . (2.10.6)
Дабы убедиться в том, что это действительно тензор, заметим, что, объединяя уравнения (2.10.4) — (2.10.6), получаем простое выражение
Гар = /JTiap +(р + р) UaUsi, (2.10.7)
где Ua есть 4-вектор скорости:
U = ^F = (l-vr1/2v,
7 (2.10.8)
нормированный как обычно:
UaUa=-1. (2.10.9) § 10. Релятивистская гидродинамика
63
Действительно, выражение (2.10.7) легко вывести, заметив, что величина, стоящая справа, есть тензор, равный тензору Та$ в лоренцевой системе, движущейся вместе с жидкостью, а следовательно, равный Та$ во всех лоренцевых системах.
Кроме энергии и импульса, жидкость будет в общем случае переносить одну или даже несколько сохраняющихся величин, таких, как заряд, число барионов минуо число антибарионов и, при обычной температуре, число атомов. Рассмотрим одну из таких сохраняющихся величин и будем называть ее для краткости «числом частиц». Если п — лишь плотность числа частиц (в лоренцевой системе), движущихся в заданной пространственно-временной точке вместе с жидкостью, то в этой системе 4-вектор тока частиц в данной точке задается следующим образом:
JVi = O, A0 = п. (2.10.10)
В любой другой лоренцевой системе, в которой жидкость в этой точке пространства-времени движется со скоростью v, ток частиц связывается с (2.10.10) бустом Л (v):
Ni = Aip (v) TVp = (1 - V2)-l/2 ViTi, (2.10.11)
JV0 = A0p (V) Nfi = (1 - V2) -1/2 п (2.10.12) или, более компактным образом,
Na = nUa. (2.10.13)
Движение жидкости подчиняется законам сохранения энергии и импульса
0 = ^T+ [(р + uau^ (2л0л4)
и закону сохранения числа частиц
0== {nlja) = v2> ~1/2)+v • (*Ў (і - v2)_1/2) •
(2.10.15)
Удобно разбить (2.10.14) натрехмерное векторноеи скалярное уравнения. Уравнение для трехмерного вектора получается, если положить в (2.10.14) а = і, подставить Ui = ViU0 и использовать (2.10.14) при а = 0. Это дает
(2.10.16)
Скалярное уравнение получается при умножении (2.10.14) Ila TJ0.. Используя соотношение
я Ancc
= (2.10.17) 64
Гл. 2. Специальная теория относительности
приходим далее к выражению
Если же использовать уравнение (2.10.15), то это можно переписать в таком виде:
Второй закон термодинамики утверждает, что давление р, плотность энергии р и объем, приходящийся на одну частицу, 1 In, можно выразить как функции температуры T и энтропии ок, приходящейся на одну частицу, так что
IcTdo = Pd (4-) +d (-J-). (2.10.18)
(Постоянная Больцмана к введена, чтобы сделать о безразмерной.)
Тогда скалярное уравнение (2.10.17а) можно записать как
° = + (2Л0Л9)
Удельная энтропия поэтому является постоянной во времени в любой точке, перемещающейся вместе с жидкостью. Фундаментальными уравнениями релятивистской гидродинамики являются уравнение непрерывности (2.10.15), уравнения Эйлера (2.10.16), уравнение энергии (2.10.19), а также уравнения состояния, выражающие р и р через п и о.
Чтобы получить некоторое представление о допустимых уравнениях состояний, рассмотрим жидкость, состоящую из бесструктурных точечных частиц, взаимодействующих только посредством пространственно-локализованных столкновений. Как показано в § 8 гл. 2, тензор энергии-импульса можно записать в виде
г 13 = 2 63 (х ~ Xn) (2.10.20)
N
!см. выражение (2.8.4)1. В сопутствующей лоренцевой системе Ta^
будет иметь изотропную форму (2.10.1) — (2.10.3), и поэтому давление и плотность энергии задаются в этой системе следующим образом:
3
P = T Srii = T 5 (2.10.21)
г—1 N
р = Г00 = ^iEnV (х-xv). (2.10.22)
N § 10. Релятивистская гидродинамика
65
Плотность числа частиц по аналогии с (2.6.2) будет выглядеть так:
B = Es3(J-Xjv). (2.10.23)
N
Отсюда, вообще говоря, следует неравенство
0</><|-. (2.10.24)
Для холодного нерелятивистского газа справедливо приближение
P2
и, следовательно, (2.10.22) дает
ржпт + ^-р. (2.10.25)
Для горячего ультрарелятивистского газа имеем
En a* I рж I > т, а потому из (2.10.22) следует
р«3 р + пт. (2.10.26)
Оба уравнения (2.10.25) и (2.10.26) можно объединить в одно, имеющее вид
р — птж (у — 1)-*р, (2.10.27)
где
Y =
5
-д- — нерелятивистскии газ, 4
у—ультрарелятивистскии газ.
(2.10.28)
Тогда соотношение (2.10.18) можно переписать так:
kT do = Pd (JL) + (Y_l)-i d (і) = d (JL) . (2.10.29)
