Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
dx = (dt2~dx2)1/2 = At.
Другой наблюдатель, относительно которого эти же часы движутся со скоростью V, замечает, что два последовательных отсчета времени разделены не только временным интервалом dt', но также и пространственным интервалом dx' = v dt'. Он находит, что в его системе собственный интервал времени определяется следующим образом:
dx' = [dt'2 - dx'2)1'2 = (1- v2)1/2 dt'.
Ho по предположению оба наблюдателя находятся в инерциальных системах координат, т. е. в системах, связанных преобразованием Лоренца, и при сравнении наблюдений они должны обнаружить, что в согласии с уравнением (2.1.5) dx = dx'. Отсюда следует, что для наблюдателя, относительно которого часы движутся, временные отметки следуют с периодом
dt'= At (I-\2У1/2.
(2.2.1) § 3. Динамика чпстица
43
!Соотношение (2.2.1) можно также вывести, используя выражения (2.1-14), (2.1.17) и (2.1.19).] Это соотношение буквально каждый п,ень проверяется в экспериментах по измерению среднего времени жизни быстрых нестабильных частиц, рождающихся в космических тучах и на ускорителях. Частицы, естественно, не дают временных отметок; в этом случае уравнение (2.2.1) говорит о том, что движущаяся частица обладает средним временем жизни, большим, чем покоящаяся, из-за множителя (1 — v2)-1/2. Это находится в полном согласии с экспериментальными значениями, определяемыми с помощью электроники или по длине свободного пробега. Изменение масштаба времени (2.2.1) не следует путать с кажущимися растяжениями и сокращениями времени, известными как эффект, Доплера. Пусть наши «часы»— движущийся источник света, частота которого V = 1/Дt. Тогда время между излучением двух последовательных волновых фронтов (характеризуемых, например, максимальными значениями какой-либо компоненты электрического поля) задается с помощью (2.2.1) в виде dt' = At (1 — v2)-1/2. Однако за это время расстояние между наблюдателем и источником свога возрастет на величину vr dt', где V1 — компонента v, направленная от наблюдателя к источнику света. Тогда периоды между прибытиями волновых фронтов в точку наблюдения равны
dt0 = (1 + vt) dt' = (1 + vt) (1 - У2)"1/2 At.
Следовательно, отношение реально измеряемой частоты света к частоте покоящегося источника света равно
^L = (1+уг)-1 (1 -V2)172. (2.2.2)
Если источник света удаляется от наблюдателя, то vr > О и обязательно возникает красное смещение. Если источник света движется перпендикулярно направлению на наблюдателя, то vr = О и мы будем иметь красное смещение только за счет изменения масштаба времени, обсужденного выше. Если же световой источник движется по направлению к наблюдателю, тогда vr = —v и (2.2.2) дает фиолетовое смещение, определяемое коэффициентом (1 + у)1/2 (1 — и) "lIi. Переход от фиолетового к красному смещению возникает в том случае, когда источник движется под некоторым углом к линии источник — наблюдатель, отличным от О и 90°.
§ Динамика частицы
Пусть частица движется в поле сил со скоростью, настолько большой, что ньютоновская механика не описывает удовлетворительно ее движение. Предположим, что, как и в случае электродинамики, мы знаем, как вычислить силу F, действующую на нашу 44
Гл. 2. Специальная теория относительности
частицу, в любой лореицевой системе, в которой в данный момент частица покоится. Тогда движение нашей частицы можно рассчитать, переходя с помощью преобразования Лоренца к системе, в которой в некоторый момент времени ^o частица находится в покое, затем вычисляя в момент времени t0 dt скорость dv = = F dt/m и снова совершая преобразование Лоренца к системе, в которой скорость равна нулю уже в момент времени t0 + dt и т. д. К счастью, существует более легкий путь.
Определим релятивистскую силу /а, действующую на частицу с координатой ха (т), следующим образом:
(2.3.1)
Очевидно, что, если /а известна, можно рассчитать движение нашей частицы. Свяжем /а с ньютоновской силой, замечая следующие два ее свойства:
А. Если частица находится в данный момент в покое, то собственный временной интервал dx равен dt, так что /а = Fa, где-F1 — декартовы компоненты нерелятивистской силы F, причем
Ftr= 0. (2.3.2)
Б. При преобразованиях Лоренца общего вида (2.1.1) дифференциал от координаты преобразуется по закону dx'a = Aap dx$, тогда как dx — инвариантно. Поэтому из (2.3.1) следует, что правило лоренцева преобразования для величины /а имеет вид
/'«= AVp- (2.3.3)
Любая величина, такая, как dxa или /а, преобразующаяся по правилу (2.3.3), называется 4-вектором.
Предположим теперь, что в некоторый момент времени t0 частица имеет скорость V, и введем новую систему координат х'а, определяемую следующим образом:
ха = Aap (v)
где A (v) является «бустом», задаваемым выражениями (2.1.17)— (2.1.21). Буст A (v) построен так, что переводит частицу из состояния покоя в состояние движения со скоростью V, а поскольку наша частица в системе координат Xа имеет в момент времени t0 скорость V, то в системе координат х'а она должна в этот момент времени покоиться. Следовательно, согласно свойству «А», 4-вектор силы fa в системе координат х'а должен быть в момент времени ta равен нерелятивистской силе Fa. Далее, согласно свойству «Б», сила /а в первоначальной системе координат равна
