Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
365
В сопутствующих координатах метрика ^tiv имеет некоторые весьма простые свойства. Прежде всего заметим, что часы в этом случае находятся в состоянии свободного падения и показывают, следовательно, собственное время. Поэтому интервал собственного времени между двумя точками х, t и х, t -j- dt на траектории данной частицы равен просто dt, т. е.
dx2 = — g?V dx» dxv = —gu dt2,
и, следовательно,
gu = -1. (11-8.1)
Заметим далее, что траектория частицы х = const, t = т удовлетворяет уравнению, описывающему свободное падение, а именно
IliXi . pi dx11 dxv гг Л
"^+1IWtfF "Л Подставляя сюда (11.8.1), получаем
OiI —ІІ — о g dt 1
или, поскольку gxl, вообще говоря, является несингулярной матрицей, имеем
^=0. (11.8.2)
Оставался открытым вопрос о часах, придаваемых различным
частицам. Предположим, что мы переставляем часы, совершая преобразование:
t' = t + f (х), X = х- (11.8.3) Тогда новая метрика будет состоять из элементов
git=~ 1, (И.8.4)
= + (11.8.5)
^gu-guf.-gvfr-f.f-, (11.8.6)
дхЗ ° J дх1 дхг дхі
Возникает большое упрощение, если функцию / можно выбрать так, что два члена в соотношении (11.8.5) сокращаются, приводя к условию gu = 0. Существуют два важных случая, когда это действительно возможно:
А. Предположим, что мы устанавливаем все часы так, что время t = 0 соответствует моменту, когда все частицы находятся в покое. Этому предположению можно придать абсолютный физический смысл, если считать, что для каждой частицы P 366
Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
при 2 = 0 можно найти локально-инерциальную систему координат Xv-, в которой частица P отделена от всех соседних частиц, чисто пространственными интервалами, т. е.
A = 0.
V dxi It= о, X=Xp
Смещение частицы P за интервал времени dt имеет чисто временной характер:
(^)
\ dt Jt=O, X=Xp
В этой локально-инерциальной системе метрика совпадает с метрикой Минковского Titiv, а потому пространственно-временные компоненты метрики в сопутствующей системе при t = 0 обращаются в нуль:
, m Г дх* dxvl n
Вместе с (11.8.2) это приводит к тому, что gtt исчезают везде, так что метрика приобретает вид
dx2 = dt2 —gu (х, t) dxi dx3. (11.8.7)
Б. Если метрика явно сферически-симметричная, то интервал должен описываться общей формулой, с которой мы начинали предыдущий параграф, т. е.
dx2 = С {г, t) dt2 — D (г, t) dr2 — 2E (г, f) dr dt —
—F (r, t) r2 {dQ2 + sin2 9 dq>2).
Единственная неисчезающая пространственно-временная компонента gtj здесь —это gtr = 2Е, и (11.8.2) говорит нам тогда, что-E не зависит от времени, а потому
gtr = 2E (г), gte = gtv = 0.
Можно далее исключить компоненту gtJ-, изменяя показания часов, с помощью преобразования (11.8.3), где
г
/ = - 2 j E (г) dr.
Используя (11.8.4) и опуская штрихи, переписываем метрику в виде
dx2 = dt2 -U (г, t) dr2 - V (г, t) {dQ2 + sin2 0 dcp2). (11.8.8)
Здесь U и V — новые неизвестные функции, введенные вместо D и F.
Конечно, можно построить системы координат такого типа даже в том случае, когда облако свободно падающих частиц § 8. Сопутствующие координаты
367
только воображаемое. В дифференциальной геометрии системы координат, удовлетворяющие (11.8.1) и (11.8.2), называют гауссовыми, а когда gti = 0 и интервал принимает форму (11.8.7), координаты называют гауссовыми нормальными. Такие системы отсчета находят наиболее важные применения при рассмотрении свободно падающей жидкости. В этом случае 4-вектор скорости жидкости имеет по определению нулевую пространственную компоненту
Ui = 0, (11.8.9)
а поскольку Uv- нормирован так, что
g ^UV-U4 = -1 (11.8.10)
[выражение (5.4.4)], временная компонента в U^ должна равняться
Ut = {—gtt)-lh = 1. (11.8.11)
Мы будем применять только сферически-симметричные сопутствующие системы координат, когда интервал задается формулой (11.8.8). Ненулевые элементы метрического тензора в этом случае выглядят так:
grr = U, gee = y, f<p = Fsin2e, gu= — 1,
grr = U- s gee =V-1, gW =(Vsin2B)-I, (11-0-12'
Легко также вычислить ненулевые элементы аффинной связности:
рГ _ рГ__U
lrt ~ ltr^W' Гфф = —sinO cos 0,
Pr — irr — U' 2 U ' Гее V ~~ ~2U ' rr 1ФФ = —. V' ¦ 2 Wsm
lTl a® II T9 -I 6r — V' 2V ' г9 = -1 (Є II toI —<
lTf II рф _ J- фГ — V' 2V ' рф 1 (ф рф — * !ft V ~2V '
Tt - xrr — и 2 1 Гее V — 2 >
Tthp = CtgB, Гфф =Sin2
(11.8.13)
(Штрихи и точки означают д/дг и d/dt соответственно.) G помощью (6.1.5) можно получить независимые ненулевые компоненты тензора Риччи:
R EL l\ і Я \ A\
Птт ~ V 9.V2 91TV Я +4f/ 9.V ' (11.0.14)
V 2V- 2UV 2 ' W 2V
V" v'u'__V vti
2U 4t/2 2 ~~ ~W
D , . V" VU' У VU
fiee=-l+w-177r~T~ W (11.8.15) 368
Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
(11.8.16) (11.8.17)
Из сферической симметрии метрики снова следует, что
йфф = ^ee Sin2 9, (11.8.18)
Дге = Ягф = Леф==Дв* = Дф« = 0. (11.8.19)
§ 9. Гравитационный коллапс
В § 3 и 4 этой главы мы видели, что в процессе охлаждения звезда с массой, большей, чем несколько масс Солнца, не может достигнуть равновесия и стать белым карликом либо нейтронной звездой. Возможно, что массивная звезда всегда выбрасывает достаточное количество вещества к тому времени, когда она заканчивает свою термоядерную эволюцию, так что ее масса становится ниже пределов Чандрасекхара или Оппенгеймера — Волкова. Если же это не так, то она должна будет коллапсировать.
