Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
^<4- (И.6.8) § 6. Звезды с однородной плотностью
357
Заметим, что радиус Шварцшильда 2MG в этом случае меньше, чем % действительного радиуса ІЇ; поэтому нет никакой сингулярности ни во внешнем решении (11.1.17), ни во внутреннем решении (11.6.5), (11.6.6).
Это не первый случай, когда мы устанавливаем верхнюю границу абсолютного значения MG/R гравитационного потенциала звезды. В § 4 гл. 11 мы видели, что для стабильной нейтронной звезды, рассматриваемой как идеальный газ, MG/R никогда не превышает отношения 0,36/3,2, т. е. 0,11 [см. выражения (11.4.15) и (11.4.16)]. Существует ли тогда абсолютная верхняя граница для MG/R, накладываемая структурой уравнений Эйнштейна вне зависимости от уравнения состояния?
Чтобы сформулировать этот вопрос как математическую задачу, будем считать, что р — произвольная конечная положительная функция, отвечающая лишь следующим общим требованиям:
A. Задан радиус R, так что
р (г) = 0 при г > R. (11.6.9)
Б. Задана масса M из условия
R
Anrzp(r)dr = M. (11.6.10)
о
B. Метрический коэффициент А (г), заданный (11.1.11), не должен быть сингулярным, а потому
oa(r)< 2?-, (11.6.11)
где
Г
M (г) = j 4яг'2р (r') dr'. о
Г. Плотность р (г) не должна возрастать к поверхности:
р' (г) < 0. (11.6.12)
(Действительно, трудно представить, чтобы жидкая сфера с плотностью, большей у поверхности, чем в центре, могла быть стабильной.) Выбирая функцию р (г) согласно этим условиям, мы можем вычислить А (г) с помощью выражения (11.1.11); р (г) можно определить, интегрируя уравнение (11.1.13) по объему, находящемуся внутри рассматриваемой поверхности [с граничным условием р (R) = O1; затем мы можем вычислить В (г) с помощью выражения (11.1.16). Условие (11.6.11) гарантирует, что А (г) — хорошая функция, а поскольку р (г) конечно, выражение (11.1.13) будет давать р (г) 0, а выражение (11.1.16) будет приводить к конечным, положительно определенным В (г). Таким образом, любые абсолютные ограничения на задаваемую нами функцию р (г) (так же, как и на верхнюю границу MG/R) могут вытекать 358
Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
лишь из того условия, что уравнение (11.1.13) должно приводить к конечному решению для давления р (г).
Это условие мы будем использовать довольно косвенным образом, обращаясь к метрическому коэффициенту В (г), а не к caMOMj значению р (г). Сначала получим уравнение, позволяющее вычислить В (г) при заданной плотности р (г), не находя предварительнс решения для р (г); из (11.1.5) и (11.1.7) следует, что
3 RrrB + = + IQnGpAB
или
Это уравнение можно линеаризовать с помощью подстановки
в = ?2. (11.6.1?
Привлекая уравнение (11.1.11) для А (г) и несколько переустраивая его, находим
J_ 2GM (г) у/? <Г; (г) j (, ^ 26^? (г) j-Va (nJl ^ t (r).
(11.6.14)
Начальные условия при г = R могут быть определены прямо из выражения (11.1.16) или из того условия, чтобы В (г) гладко сшивалось с внешним решением (11.1.17). В любом случае приходим к результатам
= (Ц.6.15)
пдн-^-тП2 (11-6Л6)
Решение для ? (г) должно быть положительным, поскольку ? (г) могло бы быть отррщательным только в том случае, если бы оно проходило через нуль, где исчезало В, а согласно выражению (11.1.16) В может равняться нулю только в том случае, когда давление р (г) имеет сингулярность.
Получим теперь верхнюю границу ? (0). Если ? положительно, тогда правая часть (11.6.14) отрицательна, потому что ЪоЛЬ (r)/Anr3 есть средняя плотность внутри сферы радиуса г, а средняя плотность не может увеличиваться с ростом г, если не возрастает сама плотность. Таким образом, (11.6.14) приводит к условию
-IfJL (j SG3^ (г) \1/> dj{r) 1 0 dr L г \ г / dr J^- '
причем равенство достигается только при однородной плотности. Интегрируя это неравенство от г до і? и подставляя (11.6.16), § 6. Звезды с однородной плотностью
359
получаем
W , . MGr I . _ 2Gdl (г) \ -V2 Ь V ) ^ R3
г
Интегрируя еще раз от 0 до і? и подставляя (11.6.15), находим
R
r (( -Г, 2MG "1V2 MS [ г dr
[1 я J J [1-(26^ С)/г)]1/2 *
Правая часть принимает наибольшие значения, когда M (г), насколько это возможно, мало. При заданной массе M и радиусе R плотность распределения с р' (г) ^ 0, приводящая к M (г), которое во всем объеме принимает свое минимальное значение р (г), является постоянной; в этом случае имеем
^ W= до"
Подставляя это выражение под интеграл, преобразуем последнее неравенство к виду
Ш<4[1_2-^]1/2_-1 (Ц.6.17)
Мы уже отмечали, что t, (г) должно быть положительно определенным, следовательно, (11.6.17) предполагает неравенство
<«. (11.6.18)
Это как раз верхний предел, найденный ранее для звезд с однородной плотностью, но теперь мы знаем, что (11.6.18) справедливо для всех звезд, однородных и неоднородных.
Можно также доказать, что при данной массе и данном радиусе стабильные звезды с наименьшими значениями давления в центре — это те, что имеют однородную плотность. Следовательно, давление в центре любой звезды не должно быть меньше значения, получаемого из выражения (11.6.4) при г = 0, т. е.
