Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
R R
+ j 1 Git2Gr4p (г) P (г) dr + j SnG2p (г) Л* (г) dr. о о
Поправку, содержащую ?, надо удержать только в первом члене, который больше, чем другие, в RlMG раз. Таким образом, в первом порядке по P и GMlR выражение (11.5.14) принимает вид
R R
E « - ^Ci) ? J AnGrJl (г) р (г) dr+ j 16nGrJl (г)р (г) dr + о о
л R
+ j IQn2GriP (г) р (г) dr+ j InG2Jl2 [r) р (г) dr. (11.5.15) о о
Теперь каждый член мал, а потому их все можно вычислить, используя значения р, р и а/И, полученные путем решения ныото-
23 — 0788 354
Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
НОВСКОГО уравнения ДЛЯ НЬЮТОНОВСКОЙ политропы у = iIз, т. е.
-rV (г) ta GJl (г) P (г).
В частности, первый интеграл выражения (11.5.15) превращается при у = 4/g в выражение (11.3.24), а именно
R
[ AnGreM (г) р (г) dr = —V = . о
Третий член в (11.5.15) переписываем, интегрируя ио частям следующим образом: я R
j 16n2Gr4p (г) р (г) dr = j Anr2p (г) dJl (г) =
о о
в и
= - j AnGr2P' (г) GЛ (г) dr - j SnGrp (г) M (г) dr =
о о
R R
= j AnG2Ji2 (г) р (г) dr- j SnGrp (г) Jl (г) dr. о о
В результате этих действий выражение (11.5.15) принимает вид
E-.
(ЗГ — 4) о GM2
р GM2 + j %nGraM (r) р dr + j QnQ2Jl2 (r) p (r) dr.
2 (Г — 1)
о с
Последние два интеграла можно вычислить с помощью функции Лейна —Эмде 6 (I) при 7 = 4/3:
j QnG2Jl (г) р (г) dr = 6KV*PjfJ' j ?4Є'2 (с) Є3 (t) dl, о я о
J SnGJl (г) р (г) г dr = 8^y I I31 6' (I) I S4 (?) dl,
о п о
в то время как К и р (O) можно выразить через M и R подстановкой (11.3.16) и (11.3.17), приводящей к соотношению
Klh р (0)2/з _ У л GM2
G»/2 64?i4|o'(Si)ls Я ¦
Численное интегрирование дает [32] значение
B^ie1-(E1)I' { !'^31Є' ® 104 ® + і J ^40'2 №) 03 ?) H'1'
о о § 6. Звезды с однородной плотностью
355
Далее, собирая все это вместе, получаем окончательный ответ:
^-^?-T + 5'1^" (11'5-16)
Когда R так велико, что общей теорией относительности можно пренебречь, то в этом случае звезда ведет себя как ньютоновская политропа с у, равной
. . р 4 , (ЗГ —4) о ^ 4
и действительно является стабильной [см. выражение (11.5.13)]. Переход от стабильного состояния к нестабильному происходит, когда R уменьшается до значения, при котором
дЕ _ дЕ dp (0) _ п dR ~ др (0) дЯ
Производная должна быть взята при постоянном значении энтропии, приходящейся на один нуклон и, следовательно, при фиксированных в данном случае ? и M [см. выражения (11.5.6) и (11.5.7)]. Таким образом, минимальный радиус, при котором звезда стабильна, равен
Rmh н= ?-• (11.5.17)
Максимальная энергия, которая может освободиться, когда звезда медленно сжимается (за счет излучения ее поверхности) до минимального стабильного радиуса,
E (Rmhh) = ^ g ' (11.5.18)
Например, звезда с ? = 0,1 будет иметь массу M « 7200Mq-, если Г = 5I3, то минимальный радиус звезды равен 1,45-IO6 км и доля ее массы покоя, которая может освободиться при сжатии, составляет 0,03%. Максимальное значение поверхностного потенциала MGlR для Г = 5/3 равно 0,0735 ?, как и следует из условия (11.5.11).
§ 6. Звезды с однородной плотностью
Общая теория относительности находит интересное применение к другому классу стабильных звезд, состоящих из несжимаемой жидкости, уравнение состояния которой
р = const. (11.6.1)
Такие звезды представляют интерес не в связи с наблюдениями (в действительности таких звезд нет), а потому, что они имеют достаточно простое строение, позволяющее точно решить уравнения Эйнштейна [33], а также потому, что они позволяют
23* 356
Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
наити верхнии предел для гравитационного красного смещения спектральных линий, излучаемых поверхностью звезды любого типа [34, 35].
При постоянном р фундаментальное уравнение (11.1.13) можно переписать в виде
[р + р(»")][(р/3) + р(г)] L 3 J 4 '
Тогда давление должно определяться интегрированием по объему внутри поверхности, на которой р = 0, а не по объему, лежащему вне этой поверхности, как делается при рассмотрении более реалистических моделей. Это приводит к выражению
р(г) + р _ Г 1 — 8rcGpA2/3 "11/2
Зр(г) + Р L 1—8nGpr2/3 J '
Решая последнее выражение относительно р (г) и выражая р через массу звезды
P = W для r<R> (11'6-3)
находим
()_ ЗМ ( [1 -(гд/с//?)]1^-[1 -(2Л/бг^/ДЗ)]У2 , (1164)
Метрическая компонента А (г) сразу определяется с помощью выражения (11.1.11):
= (Н.6.5)
в то время как В (г) можно вычислить подстановкой (11.6.4) в интеграл (11.1.16), что приводит к результату
о / \ 1 Го Ia 2MG \1/г (л IMGri \!/2-]2 ... „ с.
5M=TL3I1--я~) --J" (11'6,6>
Наиболее интересная особенность этого решения состоит в том, что оно не имеет смысла для всех значений M и R. Давление, задаваемое выражением (11.6.4), становится бесконечным при г = г<х>, соответствующем
= Ig-. (11.6.7)
!Метрика также становится сингулярной при значении г = г«,, поскольку В (гоо) равно нулю.] Но давление есть скаляр, а потому сингулярность в р (г) нельзя отнести за счет неразумного выбора системы координат. Мы должны считать, что р (г) не сингулярно при любом реальном г, а единственный путь обеспечить это — ввести отрицательные г^,, т. е. допустить неравенство
