Гравитация и космология. Принципы и приложения общей теории относительности - Вейнберг С.
Скачать (прямая ссылка):
р (0)>™ ( [!-(ИМ/Д)]1*-1 j . (11.6Л9)
4яі?3 \ ^— З [1 — (2MG/R)] ^2 J 4 '
Это опять указывает на то, что MGlR никогда не может равняться запрещенному значению 4/9.
Этот результат можно сразу превратить в ограничение на величину красного смещения спектральных линий, излучаемых поверхностью любого типа звезды. Согласно выражениям (3.5.3),
<11.1.1) и (11.1.17), имеем
Jleirvi = 360 Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
Условие (11.6.18) накладывает на z верхнее граничное условие
z < 2. (11.6.20)
И действительно, имеется множество квазизвездных радиоисточников (гл. 14), спектральные линии которых имеют красное смещение, близкое к величине 1,95! Однако мы не будем делать поспешного заключения, что такое красное смещение с необходимостью вызывается сильными гравитационными полями, поскольку красное смещение, близкое к z = 2, требует, чтобы звезда состояла из почти несжимаемой жидкости, т. е. характеризовалась очень малыми значениями др/др. Последнее представляется физически не обоснованным, поскольку нежелательно, чтобы скорость звука (др1дрУ1г превышала скорость света [34]. Бонди [34] показал (см., однако, [35—37]), что для стабильной звезды при условиях (др/др) < 1 и р/р ^ 1Z3 [а эти неравенства выполняются для частиц, которые взаимодействуют только электромагнитным образом и (или) путем локальных столкновений; см. § 10 гл. 2] красное смещение спектральных линий, испускаемых ее поверхностью, ограничивается значением z ^ 0,615. В действительности же существуют квазизвездные объекты с величиной красного смещения Z >> 2, такие, как 4С25.5, для которого z = 2,358.
Однако нет никаких теорем, которые ограничивали бы красное смещение световых сигналов, выходящих изнутри статических сферически-симметричных тел [38] х). Например, световой сигнал, выходящий из центра прозрачной однородной звезды, имел бы, согласно выражениям (3.5.3), (11.1.1) и (11.6.6), красное смещение
1 + Z = 5"1/2 (0) =---Г.-.
' 3(1 — (IMGjR))1'2-1
Когда MGZR приближается к максимальному значению 4/9, такое красное смещение становится бесконечным. Хойл и Фаулер [41] предположили, что квазизвездный объект представляет собой скопление звезд, небольших, но плотных с красным смещением, связанным с процессами испускания и поглощения в горячем облаке газа, захваченном вблизи центра скопления. До сих пор не вполне ясно, связано ли красное смещение у квазизвездных объектов с их внутренним строением или с какой-нибудь другой причиной, такой, как космологическое разбегание далеких объектов, обсуждаемое в гл. 14.
*) Обсуждение устойчивости релятивистских газовых сфер и кластера точечных масс с произвольно большими центральными красными смещениями дано в [39, 40]. § 7. Сферически-симметричные поля, зависящие от времени 361
§ 7. Сферически-симметричные поля, зависящие от времени
Обратимся к проблемам динамики звезд. Начнем с того, что запишем метрику и тензор Риччи для сферически-симметричной системы. Сферическая симметрия требует, чтобы собственный временной интервал dx2 зависел только от инвариантов группы вращений:
t, dt, г, X -dx = г dr, dx2 = dr2 + г2 (cto2 + sin2 9 dq>2),
поэтому dx2 можно записать в виде
d%2 = С (г, t) dt2 — D {г, t) dr2 — IE (r, t) dr dt —
—F (r, t) r2 (de2 + sin2 9 dcp2).
Можно избавиться от функции F, если ввести новую радиальную переменную
г' = гFV* (г, t).
Тогда метрика сохранит свой вид, но вместо С, D я E возникнут новые функции С', D' иE', зависящие, конечно, не от г, а от г', и исчезнет F. Опустив штрихи, получим
dl2 = С {г, t) dt2 — D (г, t) dr2 — 2E (г, t) dr dt —
—г2 (de2 + sin2 Є dcp2).
Теперь избавимся от Е, введя новое время:
dt' = T1 {г, t) [С (г, t) dt —Е (г, t) dr],
где т] — интегрирующий множитель, который вводится так, чтобы правая часть стала полным дифференциалом, т. е. так, чтобы
h (г, t) С (г, t)] =-414 (г, t) E (г, І)].
[Это уравнение может быть решено, если рассматривать его как задачу с начальными данными; задавая т] (г, t0) для всех г, можем найти дц (г, t)/dt при t = t0, а затем определить ті (г, t0 + dt) для всех г.] Собственное время тогда будет иметь вид
d%2 = T1-2C-1 dt'2 — (Z) + C-1E2) dr2 - г2 (de2 + sin2 Є dcp2),
или, вводя новые функции А и В вместо D + C-1E2 и т-['2C'1 и опуская штрих у t, переписываем это так:
dx2 = В {г, t) dt2 - А (г, t) dr2 - г2 (d62 + sin2 Є dcp2). (11.7.1)
Таким образом, мы можем использовать метрику в ее привычной «стандартной» форме с единственной особенностью, а именно: А и В зависят как от г, так и от t. 362
Гл. 11. Равновесие в звездах и коллапс
1 гг 2 А ' * ее А 1 ФФ — А
ITi В' ~2А ' Trt = Trtr = А 2А> Teer г9 — і Qr 1 г '
г9 1 фф = — sin 0 cos 9, рф 1 ф г рф - 1 Гф - 1 г ' РФ 1 ф0 рф — 1 9ф = CtgI
г' j- гг = +^-^ 2 В ' Vttt В — 2 В ' ГІ = IV В' " 2 В '
Отличные от нуля элементы метрического тензора и его обратного тензора равны:
grr = A, gee = г2, g\p<p = Tz sin2 8, git = — В,
grr = A~g™ = r~2, gw = r~2 (sin 0)""2, ^i=-B'1. (11.7.2)
Отсюда следует, что элементы аффинной связности, отличные от нуля, записываются так:
