Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
6* 84
Глава (і
Итак,
— ds2 = — e*c2dP~\-e'>dri-\- /-2^O2H-Sin2Odcp2). (5.3)
В пустом пространстве, окружающем рассматриваемое тело, T^ = 0, и уравнения поля принимают вид')
RtLi — 2" ? ,Я — О-
Умножая на g^v и свертывая полученное выражение, нахс-дим, что /? = 0. Тогда уравнения поля тяготения в ваку уме можно записать так:
^, = 0. (5.4)
Для облегчения вычислений мы приведем здесь все не равные пулю компоненты символов T5llv:
Г'„ = ~'. T233=-SinQcoSO,
ГІ —13- PI
10 — 2с Ot ' х 00 — 2 Ore '
Г2 _Г'Ч__J- Г0 ____L ^l.
1 12 — 1 13 — Л • 1 00 — 2с dt '
^.=4^"'- Г323 = сій0,
I10Io — "J 'fr • P33 = -r sin2 0,-4
F22=- re'K
В случае поля в вакууме пользуются уравнениями (5.4), либо приравнивают к нулю тензор Gwt=-R^ — 1I2S^R- Выражения для компонент Gli4 оказываются несколько проще, її они применимы также в других задачах, не ограниченных случаем вакуума, в котором присутствует только гравитационное поле. Непосредственное вычисление дает для отлич-
(5.5)
') Точнее, справа должна стоять 6-функция. — Прим. ред. Экспериментальная проверка общей теории относительности 85
ных от нуля компонент Gtx' следующие значения:
uO — е \Г2 /* дг J г'1 •
е-1 dl
О і ______
ио — rc Ot '
Qi — (ja — J_ е->. +1 (-I)2 +1 _ _ U2 — — 9 е ! Or3 ^ 2 V дг ) ^ г V дг дг )
~ 2" дг дг J 2 е [ Ci" dt2' + 2с2 \ dt ) 2с1 dt dt !' О.'--' (т Ж+ 7Г- («.•)
Приравнивая к нулю выражения (5.6), получаем независимые уравнения
? + 1-4 = 0. (5.7,
(Г,8)
дХ It
;0. (5.9)
Складывая (5.7) и (5.8), имеем
д
'дг
(). -f - v) --- 0. (5.10)
Согласно уравнению (5.9), X пе зависит от времени. Тогда в силу (5.10) величина v может содержать временную зависимость толі.ко через функцию, пе зависящую от г. Из (5.3) следует, что такая зависимость может быть устранена повсюду с помощью преобразования координат, касающегося лишь оси времени. Это эквивалентно утверждению о том, что предположение о сферической симметрии обеспечивает возможность описать геометрию такого пространства, пе прибегая к зависимости от времени. В (5.5) и (5.6) все производные по времени можно считать равными нулю. Решение (5.7) и (5.8) имеет вид
?-* А. (5.11)
Постоянную А"0 можно определить, потребовав, чтобы па больших расстояниях от данной массы паше соотношение переходило в закон тяготения Ньютона. 86
Глава 6
Из уравнения геодезической следует, что ускорение малого пробного тела, покоящегося относительно центральной массы М, равно
2Гг _ C2ZC0 / /C0 \ C^o
При сравнении этой величины с ее значением в теории Ньютона —GMjr2 получим
_ 2GM K0 =----^r- ¦ (5.12)
.Метрика Шварцшильда (5.3) теперь принимает вид
+ г2 (sin2 0 df + rfO2) + T=(iGM]с'г) ¦ <5'13>
Из (5.13) следует1) существование „шварцшильдовской особенности" при г = 2GMjc2. Это обстоятельство, как оказывается, ограничивает размеры массивных тел величиной г > 20М/с2. Для электрона это расстояние равно 13,2- 10 оЬ см; оно слишком ничтожно для того, чтобы быть связанным с современными теориями элементарных частиц. Соображения, приведшие пас к уравнению (5.3), сохраняют силу и при рассмотрении заряженной частицы в начале координат. Однако сопоставляемая электрическому нолю этой частицы энергия распределена во всем пространстве. След Ta" тензора натяжений Максвелла (4.15) равен нулю. При поднятии одного из индексов в уравнении (4.25) и последующем свертывании мы получим в случае совокупности полей Эйнштейна и Максвелла = 0, так что
(5.14)
') Г. П. Робертсон показал, что пробное тело затрачивает на прохождение через шварцшильловскую особенность конечный промежуток времени. Новые координаты устраняют шварцшильловскую особенность, но не особенность в начале координат, где сингулярны инварианты тензора Римана.
Финкелыитейн [2] получил аналитическое продолжение решения Шварцшильда без особенностей везде, кроме начала координат. Оно не имеет временной симметрии, что, по мнению указанного автора, обусловлено нелинейным характером общей теории относительности. Экспериментальная проверка общей теории относительности 87
если источником энергии является только электромагнитное поле. Будем исходить из метрики (5.3), выражений (5.6) и (4.15), а также из уравнений Максвелла (4.47) для сфери-
чески симметричного потенциала') Л0. Мы частицы, несущей электрический заряд е, метрику2)
rfs2 =
20 M , Ge2
•г2(sin20 Cii2+ dm)-
IIr2
1-
20 M
~'г2г' +
получим для вместо (5.13)
(5.13а)
еЧі CV2
В случае сферического электрически нейтрального тела конечной протяженности метрика (5.13) имеет силу только вне тела. Внутреннее решение для жидкой сферы можно записать в виде
- ds2 = —
А — В
/
1 -
dr2
Rt
1 -(,*//$)
-fr2 (sin2 Orfcp2 -I- dQ2). (5.136)
Учитывая требование, чтобы это выражение точно сшивалось с (5.13) на границе г = г,, и вводя плотность р, находим
Rl
3 с2
3T:P<3
А — -
Л
1
в = -. 2
2. Гравитационное красное смещение
Обратимся вновії к метрике (5.13) с тем, чтобы еще раз вывести формулу для гравитационного красного смещения. Пусть на поверхности некоторой звезды имеется осциллятор, период колебаний которого задается инвариантом As. Пусть в максимуме каждого колебания излучается световой импульс,
