Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
ЛИТЕРАТУРА
1. Scliwarzschild К., SUzmigsbcr. preuss. Akad. Wlss., 1916,
S. 424.
2. Finkelsteln D., Phys. Rev., 110, 9(55 (1958).
3. Lyons П., Ann. N. Y. Acad. Scl., 55, 831 (19аа).
4. Singer S. F., Phys. Rev., 104, 11 (195(1).
5. Mo ssb a u er R. J., Zs. f. Phys., 151, 124 (1958); Xaturwlss., 45.
538 (1958); Zs. Natiirforscli., 14a, 211 (1959).
6. Pound R. V., Rebka Q. A., Jr., Phys. Rev. Let., З, 439 (1959).
(См. перевод: 1 ПІР, стр. 409.)
7. Schiffer J. P., Marshall W., Phys. Rev. Let., 3, 556 (1959)
8. C r a n s h a w, S с Ii I f f e r, Whitehead, Phys. Rev. Let., 4, 1(53
(19(50).
9. Pound R. V., Rebka 0. A., Phys. Rev. Let., 4, 337 (I960).
10. Triiinpler R. J., Jubilee of Relativity Tlieory (Helv. Phys. Acta,
Sappl. IV). Mercler a. Kervaire1 p. 408.
7 Дж. Вебер ГЛАВА 6
Законы сохранения
І. Канонический псевдотензор энергии — импульса — натяжений
В частной теории относительности соотношение TlJiv-O, которому удовлетворяет тензор энергии — импульса — натяжений, приводит при интегрировании по трем пространственным координатам к законам сохранения энергии и импульса. Например, в случае Tqi4
gjo / V dx* dx2 dx* =
- - f (45- + S + -S-) ^2 ^ = - § T0' dS,
(6.1)
Объемный интеграл преобразован в крайнем правом выражении в интеграл по поверхности, ограничивающей данный объем. Элемент этой поверхности равен вектору dSr Полученное соотношение связывает изменение энергии в заданном объеме с потоком энергии — импульса через ограничивающую его поверхность.
Положение изменяется, если используется не метрика Лоренца. Тензор энергии — импульса — натяжений удовлетворяет соотношению 7^., = 0. В силу симметрии тензора Т.„ можно, применяя (3.79), записать
Viv = (- 8ҐІ2 (т; Vz^h-Y Sa9tvT9- (6-2)
Если взятая здесь метрика зависит от времени, то при [х — 0 второе слагаемое в (6.2) описывает зависящий от времени обмен энергией и импульсом между гравитационным полем в каждом элементе объема и другими нолями. Чтобы обес- Законы сохранения
99
печить возможность всегда выполнить операции, позволяющие осуществить интегрирование типа (6.1), мы найдем величину удовлетворяющую соотношению
(- ю"42 (V V~g). V == - >J /?, (6.3)
Тогда (6.2) примет вид
I(VH-V)V1NfL=O. (6.4)
Интегрирование (6.4) производится в общем случае так же, как и интегрирование (6.1), и следует ожидать, что оно приведет к установлению законов сохранения [1 — 5], учитывающих гравитационное поле. Выражение (6.3) не определяет однозначно величины Z1/. Из вида правой стороны (6.3), кроме того, следует, что / * не является тензором. Мы увидим, что величина / * ведет себя как тензор относительно некоторых ограниченных групп преобразований. Ее называют псевдотепзором энергии — импульса — натяжений. Один из способов получения величины /^v в основном совпадает с методом, приведшим к (4.10). Эта задача, однако, отличается от обычно решаемой в теории поля, ибо гравитационный интеграл действия
1O = IfaG fR V^ ^x (6.5)
содержит вторые пространственные и временные производные переменных поля gl". Однако часть действия, содержащую вторые производные, можно записать в виде поверхностного интеграла. Действительно,
R K=I- - g"R1,, V~g = (g,LT^ в - ^riw,, +
+ ^TVpb3 - ^TV,J y—g. (6.6)
Вторые производные содержатся лишь в первых двух слагаемых справа в (6.6). Их можно преобразовать следующим образом:
(е* TV.. - ^tV ,) VrI=V V~g\. --ittV VzILV~gL
(6.7)
7* 100
Глава (і
Иснолі.зуи теперь (3.73), имеем
~ч = SSix S-,... ^V-O1
дх
P-1" Г11 ?T'V — Г ^ Г'1 ,, —. ir" <r
Дна последних слагаемых и (6.7) можно записать и нндс
- гV ОТ VzrSl а+r*il7 VrrS)., -
= W - F^r'VJ y—g. ((І.8)
С помощью (6.6), (6.7) и (6.8) выражению (6.5) можно придать форму
J я VrrItfx = / ff1" - rilvr%) rf«* +
+ ff'T3.,)].^/'*. (6.9)
Мы видим, таким образом, что первый интеграл справа в равенстве (6.9) зависит лишь от gи его первых производных, второй же интеграл можно непосредственно преобразовать в поверхностный с помощью теоремы Гаусса. Рассматривая вариации функции действия, обращающиеся п нуль па границе интегрирования, достаточно учитывать в (6.9) один только первый интеграл справа. Вводя обозначение
= W ^ (rV^ - rV3J- (6 -1
можно теперь определить полную плотность лагранжиана Jf-.
^ = (6.11)
где Lp — плотность лагранжиана всех нолей, кроме гравитационного. Так как (6.10) включает лишь часть лагранжиана гравитации, не зависящую от вторых производных, a L1, также содержит лишь переменные полей и их первые производные, то к интегралу действия
I = ^fjrVrrSdiX ^012) Законы сохранения
10<>
можно применить стандартный лагранжев формализм теории поля (см. гл. 4, п. 1). Отсюда следует, что уравнения поля имеют вид
д
Oxd
d(S'V-g) (HS7V-S)
і и-»
<>g , с
:0.
(6.13)
Используя (6.11) и (4.37), можно записать
,, ( / іЛ~~.7і , /) ( er Tr
L
Ifin 6' I" <Jsa V-<r)
д
дх
Jlv
G'
dg дх dgr
- (/?„ - іg^V'^g = V (6-14)
