Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
X
Ф и г. 7.
стержня параллельны оси времени. В другой лоренцовой системе координат х'а изменение его длины дается формулой
(Дх'^ + СА^2)2 + ^'3)2. (3.86)
где Дх'1 описывает разность координат х'1 в двух точках, в которых гиперплоскость х'° •= const пересекает мировые линии концов стержня (см. фиг. 7). Рассматривая пару событий, мы каждую пространственно-временную точку по отдельности проектируем нормально на гиперповерхность х'° =COiist, снова используя затем соотношение (3.86).
5 Дж Befiep »>4
Глава ?
Тем же способом можно определить длину в искривленном пространстве. Возьмем координаты JC0, х1, х2, X3 и метрический тензор ^liv. В заданной точке введем локально
лореииову систему с координатами х'°, х'1, х'2, Jc''1. Пусть координата х'° будет параллельна х°, гак что
дх'' о,
дх? ' дх"
Индекс I указывает пространственные координаты. Для пары событий мы определяем
dl2 = dx"' dx'1 = — — dx* dx\ (3.87)
дх* дх*
Закон преобразования метрического тензора имеет вид
_ дх'1 дх'1 _ дх'° Ox'0 8jk~ Oxi дх" ~ дх> ~uxk '
дх'° дх'°
Soo = - ' ^3-88)
— ox'° djc'°
gnj ~ dxu dx' ' Использование (3.88) в (3.87) дает
dl2 = (gjk — -^2'-) dx1 dxk = Ijk dx1 dx\ (3.89)
где
Можно показать'), что величина ~[jk обратпа трехмерной матрице gik. Четырехмерный детерминант тензора g связан с трехмерным детерминантом величины Yyft. который мы обо-
') Чтобы получить равенство g'^tj^ — 5?A, достаточно записать BiiSjk + A0J = ^, ^gy0+ Л00 = О и затем исключить gi0. Риманова геометрия и тензорное исчисление
67
значим через f, соотношением')
(3.91)
Подобным же образом мы можем определить дифференциал времени для пары событий с помощью его значения в локально лоренцовой системе:
Учитывая (3.89) и извлекая квадратный корень, получаем
9. Определение метрического тензора
Имея изгибаемый (но не растяжимый) стержень и „естественные" часы, отмечающие инвариантные интервалы, можно использовать их для нахождения g^v в заданной точке путем прямых измерений, используя соответственно выбранные пары событий, координаты которых известны. Жестких стержней не существует, однако можно использовать обычные стержни, если отклонение от абсолютной жесткости поддается учету.
При другом способе нахождения метрики применяется локально лореицова система и требуется знать координаты событий как в исходной системе, так и в лоренцовой. С помощью стержня можно измерить квадрат длины в системе Лоренца, причем отпадает необходимость вносить поправки на иеидеальпую жесткость, так как стержень находится в состоянии свободного падения и свободен от натяжений. Данные измерения шести пар событий позволяют тогда вычислить f/y с помощью (3.89).
Допустим, что исходная временная координата определяется по приему радиосигналов, а в точке определения g
') Положим сначала
Прибавляя первый столбец, умноженный на gia/goo- к0 второму, а затем проделывая такую же операцию с третьим и четвертым столбцами, придем к равенству (3.91).
(dx'°f = dl'1 — g Clxv- dx\
dx'° = (- gj1' dx° - (- ^00)"''' gol dx1.
A'oo 0 0
J _ АГіо Tu Їі2 Ъз і
A'oo Ar2O Tai 722 Ї23
і Агзо 7зі Кзг Тзз і
5* 68
Глава (і
мы имеем часы с цезиевым пучком. Сравнение их показаний с сигналами времени дает gm. Для определения ?-01 установим радиоприемники в двух точках с различными координатами х1. Будем транслировать импульсы излучения от одного приемника к другому, измеряя времена прихода сигналов через координатные временные сигналы. Тогда
ds2 = О gu (,dx>)2 + 2gw dx° dx' + ^00 (dxy, (3.92)
и из (3.89) получим
= (3.93)
Исключим теперь gn из (3.92) с помощью (3.93); это дает (Лі)а_|_ J- . (gmyt(dxy+2gwdxf>dxt + g^idxy = 0. (3.94)
SOO
В уравнении (3.94) нам известны все величины, кроме g-01, которая становится, таким образом, определенной. Аналогичным образом можно определить ^02 и g-o;!. Знание их и результат измерения f^ определяют теперь все остальные компоненты Jgrliv.
литература
1. Levl-Clvlta Т., The Absolute Differential Calculus, London,
1927.
2. S у ng e J. L., Sc h 11 d A., Tensor Calculus, University of Toronto
Press, 1952.
3. SpalnB., Tensor Calculus, lnterscience, New York, 1953.
4. Ferml E., Attl accad. nazl. Llncel, 31, 21, 51 (1922). ГЛАВА 4
Уравнения поля в общей теории относительности и электродинамике
Гравитационные силы занимают исключительное положение среди других сил, в частности электромагнитных, поскольку те десять функций, которые характеризуют гравитационное поле, вместе с тем определяют и метрические свойства измеряемого пространства.
Л. Э й н ш т е і/ н
1. Уравнения гравитационного поля
Во второй главе мы рассмотрели вращающуюся систему отсчета. Вследствие существования ускорений возникла необходимость в римановой метрике. Неоднородное гравитационное поле эквивалентно внутри каждой малой области соответствующей ускоренной системе. Поэтому следует ожидать, что риманова метрика позволит описать гравитационное поле. Квадрат линейного элемента задается равен--ством
