Общая теория относительности и гравитационные волны - Вебер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
= yU-^i, (4.41)
В (4.40) компоненты четырехмерного потенциала рассматриваются как переменные поля. Уравнения Максвелла выражаются через тензорную напряженность и плотность 4-тока в виде
^v,* = ^y- Г (4-42)
" OF „ OF OFq
-? + -?+-? = 0. (4.43)
Oxi Oxtl Ox
Подстановка равенства (4.41) в (4.43) показывает, что уравнению (4.43) тождественно удовлетворяет любой тен-зор Z7liv, определенный согласно (4.41). Таким образом, при 80
Глава (і
выборе тензора напряженности, построенного из производных 4-потенциала, формула (4.42) полностью соответствует содержанию уравнений Максвелла.
Если, используя условие калибровки Лорениа в виде
^lvjv = 0, (4.44)
подставить (4.41) в (4.42), то в качестве уравнений электродинамики, записанных через 4-потенциалы, мы получим
Предпримем теперь обобщение этих результатов па случай произвольных координатных систем. При этом формула (4.40) сохраняет свою силу, а (4.42) принимает вид
Я". „ = ~(4.46)
Определение (4.41) принимает вид /4v;|l — который, однако, вновь сводится к: (4.41) при подстановке (3.35) и учете свойств симметрии Г*,и по нижним индексам. Так как
— антисимметричный тензор, можно, пользуясь (3.78), записать
» (я» yzrg) ч = ІИ (4.47)
У — Р. С
Соответствующее обобщение (4.43) имеет вид
0. (4.48)
Однако величина, стоящая в скобках, представляет собой антисимметричный по индексам f и S тензор второго ранга; таким образом, из (3.78) вновь следует, что (4.48) сводится в произвольной системе координат к (4.43).
Выражение (4.44) принимает вид
Л\.ч = 0. (4.49)
Вычисление, которое проще всего произвести в геодезических координатах (имея в виду, что обращаются в нуль лишь символы Кристоффеля, но не их производные), приводит к следующему правилу изменения порядка коварнапт-иого дифференцирования вектора:
Л-> ._ /IV pv Л»
; р; а * 1 ; з; р--/\ оар » Уравнения поля
81
Используем этот результат в уравнении (4.46), впервые записав его через Av".
A« V = ^f-
Перенося здесь индекс (д. вниз, записывая Л V;через и учитывая (4.49), получаем
ArJ*-RvaA* =.....^-J,, (4.50)
как результат обобщения (4.45).
4. Движение заряженной частицы
Функция действия для частицы, несущей заряд е, задается формулой
/= — тс J «ft + 7 $ A^dxv-. (4.51)
Уравнения движения можно получить из этого выражения, положив вариацию / равной нулю. Исходя из (3.62) и используя (3.68), получаем для первого слагаемого в (4.51) выражение
- mcb f ds = - тс f (^f +1% % gn Ьх^ ds.
(4.52)
Второе слагаемое в (4.51) принимает вид
Л 8 J Л, dx* = ^ f oA.t, dx" + if Avd Ix* -=
= f Id(AllW)......WdAlt r ZA^dx-Ч. (4.53)
Первый член в подынтегральном выражении справа при интегрировании дает нуль, так как на копнах пути интегрирования вариации исчезают. Что же касается остальных слагаемых, то мы заметим, что
дА
dA^—?fdx\
дх
тогда как
дА
Mll = -4 SJCV.
^ дх
6 Дж. Всбер 82
Глава (і
Комбинируя (4.52) и (4.53) с учетом определения (4.41) и приравнивая результат нулю, получаем, после поднятия одного из индексов у Fa^, уравнения движения заряженной точечной частицы в гравитационном и электромагнитом полях:
1. BeHnfante F., PhysIca, 6, 887 (1939).
2. Rosenfeld L., Mem. acad. roy. Belgique, 28, 6 (1940).
3. Mach F.., Die Oeschichte und die Wurzel des Satzes von der
Erhaltung der Arbelt, Praha, 1877; Mechanik, Leipzig, 1883.
4. Hilbert D., Orundlagen der Pbysik, 1, Nachr. Oes. Wiss. Oot-
tlngen, 1915, S. 395.
5. Einstein A., The Meaning of Relativity, Princeton University
Press, 1950. (См. перевод: Эйнштейн А., Сущность теории относительности, ИЛ, 1955.)
6. Palatini A., Rend. circ. mat. Palermo, 43, 203 (1919).
7. Einstein A., Ann. d. PIiys., 49, 769 (1916).
pii dx" dxP "3 ds ds
(4.54)
литература ГЛАВА 5
Экспериментальная проверка общей теории
относительности
1. Решение Шварцшильда
Вплоть до настоящего времени экспериментальная проверка общей теории относительности СОСТОИТ из опытов Этвбша и наблюдений гравитационного красного смещения, сдвигов перигелия планетных орбит и отклонения лучей света Солнцем. Последние три упомянутых эффекта изучают, исходя из решения уравнений гравитационного поля для случая сферической симметрии. Мы получим здесь это решение, следуя Шварцшильду [1].
Будем исходить из сферически симметричного квадрата линейного элемента для плоского пространства — времени:
— ds2 = — с2 dt"1 -f- dr'2 -f- г'2 (tf O2 -f- sin2 6 tf<p2). (5.1)
Поместим теперь в начале координат сферически симметричную массу. Тогда выражение (5.1) должно изменить свой вид, однако таким образом, чтобы сохранилась как сферическая симметрия, так и симметрия относительно обращения времени. При этих условиях
— ds2 = — /0(г', t) с2 dfl H--Z1 (r', t) dr'2~\-
-+- /2 </'. О г'2 (rfO2-f Sin2 в df). (5.2)
Введем новую координату г, выбрав ее таким образом, чтобы имело место равенство f2(r', t) г'2 = г2. Полагая
/0 = ,\ fl = e\
находим
ffoo = — SrU = Sb = '"2. ?зз—r2 si"2".
