Электромагнитные волны - Вайнштейн Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
P = J ^dS, We= j we dS, Wll= j W11 dS, (33.09)
SX sX sX
взятые по поперечному сечению Si (т. е. по всем X и у при Z= = const), дают, очевидно, погонную мощность потерь P и погонные энергии We и W11. Интеграл
2= J ^dS=-L і [EH*]zdS (33.10)
Sx on Sx
121 дает комплексную мощность, переносимую полем через попереч-пое сечение линии. Интеграл
jrf^ + ^Wd $snds (33.11)
s{ \ дх 8У J с
обращается в нуль. Контур С для коаксиальной линии нужно провести в глубине Nd ее оболочки на достаточно большом расстоянии от внутренней поверхности, тогда в каждой точке контура С поле практически равно нулю, и интеграл (33.11) исчезает. Для двухпроводной линии в качестве контура С можно взять окружность достаточно большого радиуса г: легко показать, что на такой окружности электрическое и магнитное поля противофазной волны обратно пропорциональны г2, поэтому при г-»-оо интеграл (33.11) стремится к нулю.
Окончательно в результате интегрирования уравнения (33.08) получаем соотношение
— = P + 2 і со (^e-^), (33.12)
формально тождественное соотношению (33.06). Особенность соотношения (33.12) заключается в том, что оно выведено из электродинамических уравнений и потому остается справедливым для волноводов и других линий передачи (см. § 51), если входящие в него величины определять с помощью формул (33.09) и (33.10).
Выписанные же ранее выражения (33.01), (33.04) и (33.07) пригодны лишь для длинных линий, подчиняющихся телеграфным уравнениям. Последняя из этих формул вскрывает энергетический смысл волнового импеданса Z; если имеем волну, бегущую в положительном направлении, то
2 = Z |/|2 = Lr |?/|2_ (33.13)
Из телеграфных уравнений нетрудно вывести также тождество, аналогичное теореме о колеблющейся мощности (см. задачу 3).
§ 34. Зависимость свойств длинных линий от частоты
Рассмотрим, как зависят свойства линий от частоты. Остановимся на наиболее важном случае, когда между проводами линии— пустота, так что G = 0, a Le я С связаны соотношением (30.10).
Чтобы получить представление о конкретных численных соотношениях, возьмем коаксиальную линию, выполненную из меди, причем радиус внутреннего проводника а=0,05 см, a pa-
122 диус внешнего проводника Ь=0,5 см. Ограничимся достаточно высокими частотами, при которых скин-эффект сильный. Тогда
R = OiLi= 9,05-10-5 YJy ом/м,
CoLe=2,9- IO-6/, Ом/м,
где / — частота в герцах. Отношение
RfaLe=LiILe=ZXlVf
стремится к нулю при возрастании частоты. Это отношение показывает, как увидим дальше, насколько объем проводников участвует в электромагнитных процессах, происходящих при распространении волн вдоль линии. Для достаточно высоких частот это отношение принимает малые значения, например, при /= = IO8 Гц (Я = 3 м) оно равно 3,1 -IO-3.
Если взять линию с другими геометрическими размерами или другие проводники, то численные коэффициенты в написанных выше выражениях несколько изменятся, однако зависимость всех еєличин от частоты сохранится, и для достаточно высоких частот отношение RfaLe=LiILe будет малым.
Вычисляя по формуле (30.11) волновой импеданс линии передачи
Z= -i/ML + i/? = л/Ь-(І+!±+І (34.01)
V «С У С \ Le ULe )
видим, что при увеличении частоты он стремится к выражению
Z = УТЖ. (34.02)
соответствующему линии той же геометрической формы [согласно формуле (30.09)], -но идеально проводящей.
Выясним, как ведет себя волновое число h при увеличении частоты. Так как G=O, то формула (30.05) принимает вид
h= У (a L + і і?) со С (34.03)
или в силу соотношения (30.10)
h = k і/l H- ^L+і 4-. (34.04)
У Le іoLe
Учитывая, что при высоких частотах отношение LiILe=RfaLe становится малым, мы можем использовать формулу Vl -\-х= = l+%/2, пригодную при малых х, и написать
"=*(1+27Г <340f>
В общем случае имеем h=hr-\-\h", где вещественная часть волнового числа h' определяет фазовую скорость волны w=co//i' [см.
123 формулу (11.14)], а мнимая часть h" есть коэффициент затухания волны в линии. Из приближенной формулы (34.05) следует, что
u=cf ([+LiILe). (34.06)
Эта скорость меньше скорости света с; она стремится к с при увеличении частоты. Физически это объясняется тем, что поле вследствие скин-эффекта 'вытесняется из проводов (Li-+-0), и электродинамические процессы переносятся исключительно в пространство между проводами.
Коэффициент затухания линии может быть записан в виде
h"=Rf2cLe=R[2Z, (34.07)
где Z — волновое сопротивление (34.02). Отсюда видно, что затухание на фиксированной длине линии (например, на длине 100 м) увеличивается пропорционально V /. когда через нее передаются волны все более высоких частот. Таким образом, в отношении затухания реальная линия при увеличении частоты все более отличается от идеально проводящей линии.
Однако в некоторых случаях бывает важен так называемый относительный коэффициент затухания он дает ослабле-
ние волны на отрезке линии, равном длине волны. Так как
и=URfaLe=SiLiI Le, ¦ (34.08)
то с ростом частоты он стремится к нулю как 1 /Vf- Поэтому можно сказать, что по относительному коэффициенту затухания реальная линия при росте частоты приближается к идеально проводящей линии.
