Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Воспользовавшись соотношениями (75), (76), получим G(A) = G0 (01 TD ехр / угА \ 0) = <01 Гехр і [Sv(?) + <р А] | 0>. (86)
Все обозначения стандартные и не нуждаются в пояснениях.
Обычно iV-произведение определяется так, что <0| jV [<?(Х\)...
... <?(хп)]\0> = 0 для любого я>1. Тогда для произвольного функционала
<0\NF(y)\0> = F(0). (87)
Считая это равенство верным, из (86) и (46) получаем
1 ъ > ъ
G(A) = ехр
ехр і [Sv (<?) + '?А]
• (88)
9=0
Согласно договоренности в фермионном случае производные в дифференциальных операциях приведения считаются правыми. Это удобно для записи формул приведения (45), (46), ко-
37
торые оказываются одинаковыми для обеих статистик. Но сейчас мы собираемся использовать формулы (10) — (12), что требует перехода к левым производным; из (9) видно, что это приведет лишь к изменению знака в показателе операции приведения. Сделав эту замену, находим с помощью (12) функционал (88) для свободной теории:
G(0) (А) = ехр Аналогично
ехр / [S v (?) + V А] = ехр iSv (х8/8 і А) ехр / ?А. (90)
Комбинируя эти формулы, получаем
G(A) = ехр/S1,(х8/8/А)ехр [-*А АА/2]. (91)
Отметим, что все эти соотношения остаются верными и для взаимодействия с производными по времени, если под Sv(y) понимать эффективное взаимодействие. Отметим также полезное соотношение, получаемое путем сравнения представлений (88) и (91) при A=O:
2
5 , 5
_д_
5ср 5ср
ехр/?А
о
ехр
--Y АДА
.(89)
ехр
5
А
<р - 0
Fl х — ехр -^-?Дер
9=0
(92)
Между функционалами RnG существует простая связь. Пользуясь соотношением (10), получаем
G(A) = ехр
2
exp/Sv(<p)
ср =0
ср =0
откуда, учитывая симметричность Д и определение (84), находим
0(Л) = ехр(--^ААл)ехр[(»М)-^г] /?(?)
Согласно (11) оставшаяся дифференциальная операция дает сдвиг:
G(A) = ехр - J- АДА| /? (/AA) = Cf)(A)R(IbA). (93)
Это и есть искомое соотношение, показывающее, что знание S-матрицы вне поверхности масс равносильно знанию всех функций Грина. Сделав в (93) замену А — /Д^А, получим обратное соотношение:
R (А) = ехр 4" ЛД"1а| G(- /A^1A). (94)
Обратим внигмание на отсутствие множителя х в гауссовой экспоненте.
38
В заключение отметим, что для комплексного ПОЛЯ ф, ф+ производящий функционал функций Грина обычно определяют соотношением G(a+, а) — <0\ Г ехр і [S^ (ф+, ф) + ф+а + а+ф] 10>. При переходе к универсальным обозначениям
* = = • + - (Ї 5) W (96)
т. е. в функционале (86) нужно сделать замену А -> g*A; при этом А ДА -> AgT&gA.
§ 4. ДИАГРАММЫ
1. Теория возмущений. Из определения (84) получаем ряд теории возмущений для S-матрицы:
(96)
ігде Ж (ф) =tSv(ip) — показатель дифференцируемой экспоненты в (84).
Действие операции приведения на Жк(ц>) удобно описывать на языке диаграмм. Множитель Ж (ф) изображается графически точкой, а степени MN (у) сопоставляется диаграмма, состоящая из N изолированных точек.
Операции (б/бф) Д (б/бф) графически соответствует добавление линии А, соединяющей пары точек. Линия присоединяется всеми возможными способами, так как каждая из производных 6/6 ф может действовать на любой из множителей произведения Ж1* (ф) = Ж (ф) •.. .• Ж(ф). В частности, возможен случай, когда обе производные квадратичной формы действуют на один и тот же множитель Ж (у). На языке диаграмм это значит, что выходящая из некоторой точки линия возвращается в ту же точку. Такие линии мы будем называть закороченными.
Результат действия полной операции приведения на Жм(у) представляется в виде суммы диаграмм, состоящих из N точек с любым числом добавленных линий. Точки называют вершинами диаграммы. Вершине, к которой присоединяется п линий, сопоставляется множитель
Jln(*i . • - хп; у) = Ъ»Ж (І)\Ц (X1) ... Sep (хп)9 (97)
поскольку добавление линии сопровождается дифференцированием по іф вершинного множителя. Аргументы X множителей (97) сворачиваются с соответствующими аргументами линий Д.
Множитель Ж (у) = ,#0(ф) будет в дальнейшем называться производящей вершиной диаграмм. Если взаимодействие полиномиально по полю, отличными от нуля будут лишь несколько первых вершинных множителей (97). В общем случае число сходящихся в вершинах линий не ограничивается. Среди непо-
Ж?) =
\1 і .>.JvT ехр
_1_
2
д
Sep
5 ср
39
линомиальных взаимодействий особую роль играет экспоненциальное, которое будет рассмотрено отдельно в п. 5.
Воспользовавшись равенством (51), можно написать следующее представление для общего члена ряда (96) :
Nl
ехр
_1_
2
Ь
о
Ці
Ih
Ж (?1) ...Ж (фд7)
(98
<рі:
В этом выражении различные вершины Jl(ф) пронумерованы аргументами фі ... ф;У, а в операции приведения явно разделены вклады операций добавления линий между различными парами вершин. Диагональные члены квадратичной формы производных отвечают за добавление закороченных линий. Их можно учесть точно, введя приведенную вершину:
'прив (?) = ехр (4- • і А 4А Ж (?) (99)
и написав вместо (98)
Nl
ехр
ь . ь
5ср Sep
»^прив (Tl) • • •
прив I 9д'
(100)
Оставшиеся члены операции приведения добавляют линии только между парами разных вершин.
