Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Из определения (99), формулы приведения (45) и равенства (30) ясно, что приведенная вершина (99) представляет yV-фор-му квантового взаимодействия, тогда как Jt (ф) представляет его Sym-форму.
Для более четкого описания диаграммного ряда теории возмущений удобно пользоваться понятиями теории графов (см., например, [5]), которые будут введены в следующем разделе.
2. Некоторые понятия теории графов. По определению графом (графиком, диаграммой) называется некоторая совокупность точек — вершин и соединяющих их линий. В нумерованном графе вершины пронумерованы числами 1 ... N, граф с ненумерованными вершинами называют свободным.
Нумерованному графу d сопоставляется матрица смежно-стей n(d): по определению матричный элемент щи равен числу линий, соединяющих (непосредственно) вершины і и k. Из определения видно, что матрица смежностей всегда симметрична. Если в графе нет закороченных линий, то матрица смежно-стей имеет нули на диагонали.
Два нумерованных графа называются равными, если равны их матрицы смежностей.
Изменив в данном графе d нумерацию вершин, мы получим новый граф d\ матрица смежностей которого связана с исходной преобразованием подобия я/==РяРт, где P — перестановочная матрица: P^=I, если при перестановке k переходит в
40
и Pih = 0 во всех остальных случаях. Нумерованные графы, отличающиеся лишь перестановкой номеров вершин, называются-эквивалентными. Равные графы эквивалентны, обратное в общем случае неверно. Эквивалентные нумерованные графы соответствуют одному и тому же свободному.
Группой симметрии данного нумерованного графа называется подгруппа перестановок, переводящих его в себя (т. е. в. равный себе). Данная перестановка принадлежит группе симметрии графа тогда и только тогда, когда соответствующая ей~ перестановочная матрица коммутирует с матрицей смежпостей рассматриваемого графа.
Симметрийным числом графа называется порядок его группы симметрии. Эквивалентные графы имеют одинаковые сим-метрийные числа, поскольку их группы симметрии изоморфны. Поэтому симметрийное число s можно рассматривать как характеристику свободного графа.
Полное число способов нумерации вершин свободного графа равно Ni. Получающиеся эквивалентные нумерованные графы разбиваются на N\/s классов, каждый из которых содержит & одинаковых нумерованных графов. Следовательно, полное число разных нумерованных графов, соответствующих данному свободному графу, равно N!/s.
3. Симметрийные коэффициенты. Вернемся к выражению* (98), представляющему общий член ряда теории возмущений,, и перейдем от суммирования по i, k к суммированию по парам, a = (i, k) = (k, і):
Здесь <2)а = ci2?(?fi<fh Да-—линия, соединяющая пару а, числовой коэффициент sa равен 1/2 для пар (/, /) и еа = 1 для пар* с і Ф k. Записав экспоненту суммы в виде произведения экспонент, получим
Действие отдельного члена полученной суммы на произведение^ вершин M (фі)...Ж(<рдг) порождает нумерованный граф, матрица смежностей которого однозначно определяется набором чисел ша: Пій = пга, где a — номер пары (i, k). Главную роль для дальнейшего играют следующие два наблюдения: во-первых, в* сумме (101) нет одинаковых наборов ma, следовательно, разным членам этой суммы соответствуют разные нумерованные графы. Во-вторых, ясно, что ряд (101) порождает все возможные нумерованные графы. Это значит, что выражение (98) представляется в виде суммы всех возможных различных нуме--
2 б?; Оср?
lk ol
a
4Г
рованных графов с N вершинами, причем каждый из этих градов входит с коэффициентом
-і
C{d) =
JV! 2r FU,,! Y[*ik\
(102)
где jtiA — элементы матрицы смежностей; r=Et-nu — полное число закороченных линий в диаграмме.
Входящие в выражение (101) дифференциальные операции iZ>a превращают исходные вершины Jl в вершины (97), не привнося при этом добавочных коэффициентов. В бозонном случае ъсе графы входят со знаком плюс, в фермионном случае знак перед диаграммой определяется четностью перестановки антикоммутирующих объектов при выполнении дифференцирования. Для взаимодействия типа Юкавы правило знаков будет сформулировано в п. 6.
Полагая в (98) фі =ф2 = .. . = ф;У = ф, мы переходим тем самым к языку свободных графов. Коэффициент при свободном графе D равен
C(D) = [s-2'- 11,?! Ul<k^}'\ (ЮЗ)
поскольку в (98) содержатся все возможные нумерованные графы, среди которых нет одинаковых, а полное число различных нумерованных графов, соответствующих данному свободному графу, равно Л/7/5.
Граф, у которого любые две вершины соединяются не более чем одной линией, а закороченных линий вообще нет, называют майеровским; из (103) видно, что коэффициентом при свободном майеровском графе является просто обратное симмет-рийное число.
4. Рекуррентное соотношение для симметрийных коэффициентов. Дифференцируя функционал (84) по параметру А, получаем уравнение [6]
5А J, х') Я (?) = -Г "SiW 'Щ7) R (?)' (Ю4)
которые можно воспользоваться для вывода рекуррентного соотношения между снмметрийными коэффициентами при графиках 7?(ф).
Пусть Di и D2 — свободные графы такие, что D2 получается присоединением одной линии к Di. Дифференцированию по А соответствует графически удаление из графа линии всеми возможными способами, следовательно, в производной по А от графа D2 содержится среди прочих и граф Di с двумя выделенными вершинами, которым соответствуют измененные (по сравнению с Di) вершинные множители (97). Этот граф войдет в левую часть (104) с коэффициентом C2ZV(D2-HDi), где C2 —
