Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
?1 s s
п
Ці Цк
і і
X
Х^грР[Ц\ ... A)JT1(Cp1) ... J
(62)
* Как отмечалось в п. 2.4, классический функционал определяется по квантовому оператору лишь с точностью до произвольной добавки, обращающейся в нуль на поверхности масс, т. е. на множестве решений уравнения /(ср = 0. Но дтя обычных К такая добавка обязательно будет содержать производные поля по времени, поэтому в классе простых функционалов Sym-форма V определяется однозначно.
29
в котором суммирование производится по всем одновременным перестановкам времен t\ в 9-функции и нижних индексов функционалов4 ff" і при сохранении порядка функциональных аргументов фі ... фп; гр определяется, как обычно, четностью перестановки фермионных множителей.
Последующие рассуждения почти дословно повторяют доказательство хронологической теоремы Вика (43). Основным соображением является то, что во всех членах суммы по перестановкам в (62) аргументы фг- расположены в порядке возрастания номеров слева направо и их порядок точно совпадает с порядком убывания времен в Г-произведении. Поэтому в не-диагональных членах квадратичной формы производных свертку п Можно заменить на А и затем выполнить симметризацию по i^±k точно так же, как это было сделано при доказательстве формулы (43):
5cpi
П
ь
Цк
2«
П 'Г •
5
2
о
В A 5 А
«Pa
Ці
. (63)
Диагональные члены квадратичной формы производных при доказательстве (43) были несущественны, поскольку они не давали вклада. Теперь же они существенны, но в э^их членах также можно заменить п на А, воспользовавшись, во-первых* тем, что ядро формы (б/бфг)^(б/бфО автоматически симметри-зуется, и, во-вторых, тем, что эти операции действуют на простые /-локальные функционалы и потому в ответы войдут лишь значения ns на поверхности t = t', где ns и А согласно равенству (30) совпадают. Это доказывает, что квадратичную форму производных в (62) можно записать в виде полного квадрата типа (38); повторяя затем дословно соответствующую часть доказательства теоремы Вика (43), мы получим искомый результат.
Воспользовавшись равенством (60) для того случая, когда
л
каждый из Fi(Ii) есть оператор взаимодействия V(Y1), представим оператор развития и 5-матрицу виковской Г-экспонентой* которую затем можно привести к нормальной форме по правилу (46):
U(T1, T2)= TexpiSv(-zv т2; у) = Nехрехр/5„(ть Ч <р)
ocp
(64)
В этих формулах Sv(xu т2; ф) — классический функционал взаимодействия (59), представляющий Sym-форму квантового взаимодействия.
3. Переход к представлению взаимодействия для функций Грина. Рассмотрим переход от дайсоновского Г-произведения к виковскому в функциях Грина (58), предполагая, как и раньше, что оператор взаимодействия не содержит производных поля по времени.
30
Пусть Fi(ti) — некоторые простые /-локальные операторные
функционалы, Fir(t() — те же операторы в гайзенберговском представлении:
Д.г {t) = еш'е-Шо'Д. (/) еШо'е"/ш = U (0, /) F1 (t) U (t, 0). (65)
Здесь Fi (t) — оператор в представлении взаимодействия, U — оператор развития (55). По определению
ылг&) Дли] = 2^Р[9(1 п)
Пользуясь соотношением (65) и групповым законом U(Z1, t2)X X U (/2, Q = U(^11 t3) для оператора развития, получаем
^Ir (^i) • • • ^пгі^п) ~
= U (0, Z1) Л (О U (Z1, Z2) A2 (Z2) ...Fn (tn) U (Zn, 0). (66)
Пусть X1 и -? — произвольные числа такие, что T2 ^Z, «J^t1 для любого из времен ti в произведении (66). Пользуясь равенствами U(O, Z1J = U(O, T1)U(T1, Z1) и U(Zn, O) = U(Zn, т2)Х X U (т2, 0), получаем
Td [F11 (А) Fnr(tn)\= U (0,•T1)M(Z1 ... Zn; ть т2) U (т2, 0), где
M (tt ... tn; ть т2) = 2 врР I6O ••• л)и(ті> ^i)X
X A1(MU(Z11 Z2) ... An(Z1J U (Zn, T2)]. (67)
Суммирование в последней формуле производится по всем
одновременным перестановкам операторов Fi(ti) как целого и времен ti в 6-функции и в операторах развития U. Мы будем доказывать, что правая часть (67) равна
T[P1(U ... ехр tf, (*ь т2; ?)], (68)
где T—символ виковского Г-произведения; Sv— функционал взаимодействия (59); #"г(<?)—симметричные функционалы,.
представляющие Sym-форму операторов F^t1) в представлении взаимодействия: F1 (^) = Sym 3^(9) = ^(?).
Равенство выражений (68) и (67) доказывается так же, как и аналогичное соотношение (60), а именно: правая часть (67) и (68) приводятся к iV-форме и проверяется, что результаты совпадают.
Общий член (67) является произведением п операторов
Fi(ti) = 9~і(ц) и /г-М операторов развития U, каждый из которых можно записать в Л^-форме с помощью (64). Каждый из членов суммы по перестановкам (67) можно привести к Л^-фор-ме с помощью соотношения (49), введя 2/1+1 независимых аргументов ffi, которые будут располагаться в формуле приведе-
31
ния слева направо в порядке возрастания номеров. Показатель экспоненты полной операции приведения будет выглядеть следующим образом:
-тг > ц—А-т-->, ~—п---\- \ -—п-—, (69)
Kk
Л
а в приводимом функционале каждый из операторов F1- нужно заменить на и каждый из операторов U—на ехр iSv для соответствующего интервала времени. В форме (69) первая сумма (с одним штрихом) берется по тем п+1 полям фг, которые являются аргументами классических функционалов взаимодействия Sv, а множитель ехр (1/2 • 2'...) есть вклад всех операций приведения (64) для операторов развития U. Вторая группа диагональных членов (сумма с двумя штрихами) есть вклад операций приведения к jV-форме всех симметричных функционалов !Ті; ^-локальность этих функционалов вместе с равенством (30) позволяет заменить в этих членах свертку п на А точно так же, как это было сделано при доказательстве (60). Что касается недиагональных членов (69), то обычные аргументы, согласно которым поле с большим номером имеет меньшее время, сохраняют силу и для правой части (67), поскольку временные аргументы полей в функционале U(^1, /2) заключены между t\ и t2 (здесь существенно предположение Тг^^-^і). Это позволяет сделать замену (63) в недиагональных членах формы (69), форма приводится к полному квадрату и все поля Фг можно, как обычно, положить равными еще до дифференцирования. Произведение множителей expiSv для всех операторов развития в (67) соберется тогда в полную экспоненту для интервала Ts^^^ri, сумма по перестановкам, как и при доказательстве (43), приведет к замене 9->1, и в итоге мы придем к правой части (68).
