Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
= N1
Sym [7(-K1) ... ?(*„)] =
ехР(\ 4гп4:) ?С*і) ••• <?(хп)
OCp
(39)
Знак Sym в правой части опущен потому, что произведение ф(*і). • • ф(яп) симметрично автоматически. Отметим также, что свертку п в (39) можно заменить на ее симметричную часть (25), так как ядро дифференциальной квадратичной формы автоматически симметризуется вследствие коммутативности производных в бозонном случае и антикоммутативности
21
одноименных (в данном случае правых) производных в ферми-
снном:
5 5
п
ь
Ці Цк Цк
5
5 5 П
5ср? ' Sep Sep
JL Ji
Sep ^ OCp
(40)
Формула (39) выгодно отличается от (18) тем, что в (39) операция приведения универсальна, т. е. не зависит от вида приводимого выражения.
Перейдем к Г-произведению. Из определения (26) и формулы П8)
T [? (*i) ... ? (Xn)]
=МП(і +
Ці
о
(41)
Суммирование в правой части производится по всем одновременным перестановкам аргументов Х\.. .Xn и времен t{.. Jn в 9-функции при сохранении порядка функциональных аргументов фь . .фг?. Важно заметить, что в каждом члене суммы по перестановкам поле с большим номером всегда имеет меньшее время, т. е. из Kk следует, что временной аргумент у поля фг больше, чем у поля ф^. Это прямо вытекает из определения F-произведения и формулы (18): временные аргументы полей убывают слева направо во всех членах суммы (26), а номера полей в (18) возрастают слева направо.
Допустим сначала, что среди времен tx ... tn нет совпадающих. Из сказанного выше тогда ясно, что во всех дифференциальных формах (S/8cp/) п (a/ScpA) операции приведения в (41) свертку п можно заменить на А, пользуясь тем, что при t^>t' эти две свертки совпадают. Воспользовавшись затем симметричностью свертки А, форму (o/o'f^) A (o/8cpft) можно симметри-зовать относительно перестановки индексов:
±-±-±-=1
Ці Цк 2
"> > * <ч
О д О 0 д о
Ці
Рассуждая так же, как и при доказательстве предыдущей теоремы, можно представить операцию приведения в виде экспоненты „полного квадрата" и затем положить все поля фг-равными еще до дифференцирования. Тогда правая часть (41) примет вид
N ехр
-тг--г— А
2
5ср йер
s P [9(1 ... A)«p(jC,) ... 'f (Xn)]
(42)
/
Остается заметить, что произведение классических полей симметрично, т. е. врР[ср (X1) ... у(хп)]= <р (X1) ... <?(хл),
а поэтому сумма по P в (42) равна
так как сумма всех перестановок 6-функции есть единица. Итак:
T [Ч (*i) ?(хп)] =
= N {ехр Ji-^A-A_j Cp(^1) ...ср(х,)
(43)
Мы вывели эту- формулу в предположении, что среди времен t{ ... tn нет совпадающих, но она верна, как нетрудно проверить, и в общем случае: если свертка А в (43) при совпадающих временах определена соотношением (30), то правая часть (43) доопределяет Г-произведение при совпадении произвольных групп временных аргументов именно таким образом, как это было сформулировано в предыдущем разделе.
Формула (43) является функциональной формулировкой хронологической теоремы Вика. В таком виде она была получена в работе Хори [3].
4. Формулы приведения для операторных функционалов.
Операторными функционалами мы будем называть выражения вида
oo
F&) = 2 J • •' 1dXi • • • dx»Fn (*i •' • хп) T (*i) • • • ? (Хп\ (44)
которые задаются набором своих, возможно обобщенных, коэффициентных функций Fn(Xi ••• хп). Будем говорить, что функционал симметричен, если таковы все его коэффициентные функции. Как всегда при этом имеется в виду симметрия, согласованная со статистикой. Симметричному операторному функционалу можно поставить в соответствие классический
А
функционал, заменив в (44) оператор свободного поля ф на классический аргумент ф. Симметричные функции Fn определяются по функционалу F(у) однозначно. Отметим также, что
Л Л
для симметричного функционала F(у) =SymF(q>).
Во избежание недоразумений еще раз скажем, что операторный функционал (44) задается именно своими коэффициент-
Л
ньщи функциями, а не оператором ^(ф). Функции Fn определя-ют оператор F(<p) однозначно, но обратное неверно, так как
л
свободное поле ф является не совершенно произвольным аргументом, а одним из решений уравнения (2). Набор симметричных функций Fn находится во взаимооднозначном соответствии
23
с классическим функционалом F(q), а для однозначного определения оператора ^(ф) достаточно знать сужение функционала ^(ф) на поверхность масс, т. е. на множество всех решений свободного уравнения (2). Понятия ,,оператор" и ,,операторный функционал" отождествлять нельзя.
Формулы (39), (43) предыдущего раздела непосредственно обобщаются и на операторные функционалы вследствие универсальности соответствующих операций приведения — в этом, собственно, и состоит ценность универсальности. Сказанное относится и к /-локальным функционалам (см. определение в п. 1.2), если они зависят лишь от поля на поверхности / = const, а не от его производных по времени. Дело в том, что мы специально позаботились о доопределении Г-произведения полей при совпадении времен, а доопределение аналогичных выражений с производными поля по времени еще не было сделано (см. следующий раздел). Исключив пока такие функционалы из рассмотрения, перепишем формулы приведения (39), (43):
