Функциональные методы в квантовой теорию поля и статистике - Васильев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
с есть A12 = ZiC"1, свертка с ф есть A21 = хДїг, свертки Ф
с ф и ф+ с ф+ равны нулю.
Универсальная квадратичная форма производных в операции приведення для поля if, if ^ записывается теперь следующим образом:
2 \о/8'>+Дд21 0 Д SS^+J- н 12H+
(использовано соотношение (40) и равенство Д21 = ^Au), а представление (84) для функционала S-матрицы принимает вид
R(^+, Ф- <р) = ехр
(ПО)
где А' — пропагатор поля ф.
Соответствующие (ПО) диаграммы содержат два типа линий: обычные линии поля ф и направленные или ориентированные линии, изображающие свертки поля if с If+ (линия выходит из той вершины, из которой взято поле if, и приходит в ту, из которой взято поле if+). Полная диаграмма является наложением обычного графа, изображающего линии поля ф, и ориентированного графа, изображающего линии поля if, if+. Любую нумерованную диаграмму можно однозначно задать с помощью
пары матриц л, л, где я есть обычная матрица смежностей
графа линий ф, а я — матрица смежностей ориентированного
графа линий if, if4-. По определению матричный элемент Щк равен числу ориентированных линий, выходящих из вершины і
и приходящих в вершину k. В отличие от я матрица я не обязательно симметрична.
A1.
л,+ і
OCp
ехр f S0 ф. ?)>
45
" Введенные в п. 2 понятия равенства, эквивалентности, группы симметрии нумерованного графа обобщаются очевидным образом, если вместо матрицы я говорить всегда о паре матриц
я, я. Графы равны, если пара я, я равна паре я', я', т. е. я = я'
и я = я'. При перестановке вершин (я, я)->(РяРт, РяРт), где P — перестановочная матрица; группа симметрии диаграммы является, очевидно, пересечением групп симметрии обычного графа, описываемого матрицей я, и ориентированного графа*
описываемого матрицей я.
Как и раньше, в разложении (НО) содержатся все возможные нумерованные диаграммы, среди которых нет одинаковых; повторяя рассуждения п. 3, нетрудно получить следующую формулу для симметрийного коэффициента при свободной диаграмме:
C(D) = |Y2'I>«!n*/*in Я*!р (Ш>
* Kk і, к
Здесь 5 — симметрийное число диаграммы, т. е. порядок ее группы симметрии; г = 2гЯн — полное число закороченных орлиний в диаграмме.
Для взаимодействия (108) формула (111) существенно упрощается, поскольку в этом случае закороченных ф-ликый вообще
нет, а любой из матричных элементов Щк, Пік является либо нулем, либо единицей. Поэтому коэффициентом при свободной диаграмме для взаимодействия Юкавы является просто обратное симметрийное число.
Специфический вид взаимодействия (108) в некоторых случаях существенно упрощает вычисление самих симметрийных чисел. Для дальнейшего полезно ввести еще несколько понятий теории графов.
Назовем степенью вершины набор следующих трех чисел: число присоединяющихся к ней ф-ЛИНИЙ, число входящих ф-ли-ний и число выходящих г[5-линий. Для взаимодействия (108) каждое из этих чисел либо нуль, либо единица. Будем говорить, что вершина уникальна, если ее степень отличается от степени любой другой вершины диаграммы.
Вершины і и k нумерованной диаграммы называются подобными, если в группе симметрии имеется перестановка, переводящая і в k. Вершину, подобную только самой себе, называют неподвижной. Подобные вершины обязательно имеют одинаковые степени, так что всякая уникальная вершина неподвижна. Если все вершины диаграммы неподвижны, то в ее группе симметрии содержится только тождественная перестановка и симметрийное число s равно единице.
Диаграмму называют связной, если в ней, следуя по линиям, можно из любой вершины попасть в любую другую. Для взаи-
46
модействия (108) справедливо следующее утверждение: еслів одна из вершин связной диаграммы неподвижна, то неподвижны все вершины и s = l.
Действительно, пусть вершина і неподвижна. Поскольку граф связный, найдется линия, присоединяющаяся к этой вершине. Допустим для определенности, что это ЛИНИЯ ПОЛЯ ф,, соединяющая вершину і с некоторой вершиной k. Пусть P — произвольная перестановка: (i, k)-*~(i', kf), я->я' = РяРт. По предположению ти = я'Гк, = 1- Если P принадлежит группе симметрии диаграммы, а вершина і неподвижна, то я' = я и = откуда Tiih = 7iik, = \. Остается заметить, что для взаимодействия
(108) в любой строке матрицы я имеется не больше одного ненулевого матричного элемента, так как из вершины выходит не больше одной ф-линии. Поэтому из равенства Ліа = л;й, = 1 следует, что k' = k, а поскольку это верно для любой перестановки из группы симметрии диаграммы, заключаем, что вершина k неподвижна.
Итак, любая вершина k, связанная ф-линией с неподвижной вершиной і, также неподвижна. Ясно, что рассужден:те остается верным и в том случае, когда вершина k связана с вершиной і ориентированной линией if-поля, поскольку для взаимодействия (108) в каждой строке и в каждом столбце матрицы я также не больше одного ненулевого матричного элемента. Переходя последовательно от вершины к вершине, мы докажем, что из неподвижности одной из них следует неподвижность всех.
Отсюда следует, что если хотя бы одна вершина связной диаграммы уникальна, то симметрийное число диаграммы равно единице.
