Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Линейное уравнение (7) заведомо имеет решение, отличное от нулевого. Умножением этого решения на подходящий множитель Я можно добиться, чтобы оно стало также и решением уравнения (8).
После того как первая и вторая строки найдены, для третьей строки мы получаем два линейных и одно квадратное уравнения. Так как оба линейных уравнения однородны, а число неизвестных п больше числа уравнений, то эти уравнения заведомо имеют решение, отличное от нулевого. Умножением этого решения на соответствующий множитель Я можно опять добиться того, чтобы найденное решение удовлетворяло соответствующему квадратному уравнению.
Продолжая этот процесс, в конце концов дойдем до последней строки. Здесь имеются п — 1 однородных линейных уравнений с п неизвестными и одно квадратное уравнение, которому можно удовлетворить подбором соответствующего множителя Я, Этим и завершается все доказательство,
$ 14. Квадратичные формы и их инварианты 79
§ 14. Квадратичные формы и их инварианты
А. ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ
Вектором х называется упорядоченная совокупность из п чисел (х1,...,хп). Если индексы указаны сверху, то х будем называть верхним вектором.
Линейная форма L = ^ utx? от переменных х1, ...,хп определяется заданием нижнего вектора и с компонентами щ,. . ., ип. Аналогично квадратичная форма
G = gikx>xk (gik = gki)
определяется заданием некоторого (симметрического) тензора gik. В этом параграфе будет молчаливо предполагаться, что
если один и тот же индекс встречается дважды (один раз на-
верху, а другой раз внизу), то по этому индексу производится суммирование. Квадратичная форма однозначно определяет билинейную форму от векторов х и у, полярную по отношению к этой квадратичной форме
Gxy = 9ikx'yk-
Если векторные компоненты х‘ и у1 подвергаются некоторому обратимому линейному преобразованию
х' = e),xJ', j
, (1)
У1 = е),уУ, j 7
то щ и gik должны так преобразоваться, чтобы формы L = utxl и Gxy = gikx'yk остались инвариантными:
UjX* = u^e’j.xJ' = Uj, xJ',
9ikx‘yk = 9ike']’cvxJ'y1' = 9j’i’xJ'y1'-
При этом, резумеется, вместе с Gxy останется инвариантной также и Gxx = G. Таким образом, для нижних векторов и тензоров при преобразовании (1) имеют место соотношения
Uj, = ще),, (2)
9п> = 9ikfy4 (3)
Преобразование (2) называют контрагредиентным (или контр-авариантным) преобразованию (1).
Если квадратичная форма G задана, то для каждого верхнего вектора у можно определить некоторый нижний вектор v:
Vi = gikyk. (4)
Билинейную форму Gxy — gikx‘yk можно теперь записать как г\xf. Так как Gxy при преобразовании (1) сохраняет инвариант-
80 Гл. III. Математические вспомогательные средства
ность, то vfi будет также инвариантной, т. е. v преобразуется в действительности как нижний вектор.
Б. ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ
Если предположить, что форма G невырожденная, т. е. ее определитель g отличен от нуля, то систему уравнений (4) можно разрешить относительно ук\
у1 = g‘Jvj. (5)
Элементы матрицы (g‘J) равны соответствующим минорам матрицы (gik), деленным на определитель д. Величины g'J называют элементами обратной матрицы.
Если (4) подставить в (5), то получится тождество относительно у1:
giJgjkVk = у‘-
В силу этого можно также написать
11 f % = Jc}
= H = (6)
В (5) величины Vj произвольны. Если и — какой-либо второй нижний вектор, то форма uty' инвариантна, следовательно,
{uv) = tfJU'Vj (7)
является инвариантом. Таким образом, для дЧ при преобразова* нии (1) имеют место соотношения, аналогичные (3).
Три инварианта
(ху) = glk xY, (их) = щя*, (uv) = дЩь}
называют скалярными произведениями.
Как известно, любую квадратичную форму линейным преобразованием переменных можно представить как сумму и разность квадратов:
G = x'2 + х’г2 -г ... + х'к2 — х’к2+1 — ... — х'2+1
(собственно говоря, индексы новых переменных х\ следовало бы ставить сверху, однако от этого пришлось отказаться, так как квадраты символов с верхними индексами неудобны с полиграфической точки зрения).
Если к = п и I = 0, то форма G принимает лишь положительные значения (случай, когда все переменные равны нулю, исключается) и называется положительно определенной', точно так же, если перед всеми квадратами стоит знак минус, то форма G назы-
