Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
— 0,1,2,... и для которого формула (1) является не приближенной, а точной. Иными словами, мы рассматриваем случайную величину х, возможными значениями которой являются числа А = 0,1,2,..., которым соответствуют вероятности
W* = ^ <2)
Ступенчатая функция распределения этой случайной величины х называется функцией распределения Пуассона:
F(t) = р(г < t) = 2Й е-х.
а-<( и
Как и следовало ожидать, F(t) при t —> оо стремится к единице.
Среднее значение х равно
а? = = 5 А= Ле“*2Л е“4’" =
А'=0 *¦. к=1 А‘ 1 — AJ‘
Точно так же
?(*2) = 2’ k«- g е-х = 2 (* - 1 + 1)^), =
= У — Хк е-\ У - 7J; . g-х ^ (к — 2)! 6 -f (к— 1)!
— Я2 е~к У-^ 4- Ле-Л У - ^к 1 - — Л2е-лел Ке~?-ех — / - -1- А
-л е ^ (fc —2)! ^ -f(fe_i)!-Ae е е ‘ л-
Следовательно, дисперсия равна
о-г = е(ж2) — (б ас)* = А2 -|- Л - Л2 =
(54 Гл. J1. Вероятности и частоты ____
поэтому сг = р.. То же самое получим и из выведенной ранее формулы
сг = ^Jnpq
предельным переходом при пр —> А и q 1.
Следовательно, значения случайной величины х, с которыми приходится иметь дело при практических расчетах, заключены между А— д^К и Л 4- g'JK, при этом практически достаточно
выбрать значение д, не превышающее 3 или 4. Возможны ли дальнейшие уточнении?
Для больших А и соответственно больших к = л -L z существует асимптотическое разложение Wk:
^5)- «>
Это разложение получается из (1) § 6 при 2=1. Рис. 9 показывает, что уже для Л 4 соответствующее приближение оказывается очень хорошим. Число 4 снова выступает в качестве большого числа. Оказывается, что даже при не очень больших Л функцию распределения Пуассона (2) можно очень хорошо приблизить функцией нормального распределения с поправкой на асимметрию. Поэтому вероятность того, что х заключена в пределах Л — д У А и л т д ТА , приближенно равна
_ о
2Ф(д) — 1 = /"?.j <Г*dt.
О
Основываясь на этом, как и в § 7, по наблюденному значению
§ 10. Частота редких событий
65
к можно построить доверительные границы для Л, решая квадратное уравнение | к — А| = ± g 1^ или
(к-ку = д*к. (5)
Значение д3 снова следует взять из табл. 3. Обе доверительные границы являются решением (5):
= * + J- я1 — д ]/к + 4- я1, К = ? + д2 + д ]/ к + ~ ф. (б)
Если используется лишь одна из эгих двух границ, то соответствующий доверительный уровень уменьшится приблизительно вдвое против прежнего.
О вычислении точных доверительных границ см. Garwood F., Biometrika, 28, (1936) 437.
Пример 10. В течение 5 час. некоторым счетчиком космического излучения было зарегистрировано 80 космических частиц. Процесс регистрации, конечно, подвержен влиянию случая: если бы рядом с действовавшим был поставлен другой аналогичный счетчик, то вполне возможно, что он при той же интенсивности космического излучения зарегистрировал бы, скажем, 70 или 90 частиц. Целью наблюдений является не регистрация случайного числа частиц к, а оценка среднего значения Я. числа частиц для всех аналогичных счетчиков в данной области в течение определенного отрезка времени. Среднее значение Я. является мерой интенсивности космического излучения. Каковы границы, в которых может быть заключено Я.?
Так как совокупность космических частиц, попадающих в счетчик, составляет лишь крохотную долю совокупности всех частиц, пролетающих в данной части пространства, то можно применить формулу Пуассона для редких событий. Согласно этой формуле, квадратичное отклонение величины к равно о- = У Я.. Так как к близко к Я., то а = У к= У80 9 пригодно
для оценки сг. Поэтому результат измерения в обычных обозначениях записывается так:
число частиц за 5 час.: 80 ± 9 или число частиц за 1 час.: 16 ± 1,8.
По правилу утроенного квадратичного отклонения отсюда следует, что среднее значение Я. числа частиц за 5 час. предположительно заключено в границах
к — За = 80 — 27 =- 53 и кЗа = 80 + 27 = 107.
По более правильной формуле (6) с д = 3 находим несколько более высокие значения границ
= 84,5 — ЗУ§2 = 57 и Л,, = 84,5 + 3 }'82 = 112. Доверительный у ровен ь, соответствующий величине <7 = 3, близок к 0,27%.
Б. СРАВНЕНИЕ ДВУХ ЧАСТОТ
При сравнении двух частот редких событий можно поступать подобно тому, как было указано в § 9. Пусть, например, в течение отрезков времени tx и t2 произошло кх и к2 успехов соответственно. Если средние количества успехов за единицу времени
б Б. Л. ван дер Варден - 10G2
66 Гл. II. Вероятности и частоты___________ ___
