Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
т, = и т2 = (7)
различны, то возникает вопрос, можно ли это различие считать чисто случайным?
Предположим, что это различие было чисто случайным, т. е. что истинные средние значения количеств успехов за единицу времени были равны друг другу. Если мы это среднее значение обозначим буквой /л, то величины
Aj — j и Л2 — jufi
2
будут математическими ожиданиями количеств успехов хг и х2 за fj и t2 секунд соответственно. Квадратичные отклонения будут равны fjLiи |/ jj.t2. Распределения хг и х2 приближенно нормальны. Следовательно, разность
tl~r W
ll l2
будет также иметь приближенно нормальное распределение с нулевым средним значением и дисперсией
Если в результате эксперимента окажется,, что абсолютная величина разности (8) превышает ^-кратное квадратичное отклонение
I ^'l ^2 '
in
или
то гипотезу о чистои случайности различия частот следует отвергнуть.
Величина /л, однако, нам не известна. Как и в § 9, для преодоления этого затруднения постараемся заменить р. возможно наилучшей оценкой, использующей весь материал наблюдений. Так как за время tx + t2 произошло -\- к2 успехов, то в качестве оценки для /л выберем величину
<п>
Если в неравенстве (10) заменить р. эгой оценкой, то получится следующий практический критерий: наблюдаемое различие, коли-
.S IP. Частота редких событий
67
честв успехов за единицу времени следует считать неслучайным, коль скоро выполняется неравенство:
Величина д2 определяется по табл. 3 в конце книги.
Если применяется односторонний критерий, т. е. если заключение делается либо лишь в случае положительной разности, либо лишь в случае отрицательной разности в скобках левой части (12), то соответствующий уровень значимости составляет лишь половину прежнего.
Этот критерий можно записать так же, как критерий ^2, положив
Обоснование критерия х2- достигается ровно так же, как это было сделано в § 9 В. Здесь мы можем отказаться от проведения обоснования, так как позднее мы снова вернемся к этому критерию и рассмотрим его с более общей точки зрения (§ 56Ж).
(12)
/А'! /,'2 1“ (A~i 12 А~д^)~
1^ t2 j + А’2 +
(13)
ГЛАВА Ш
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СРЕДСТВА
В первом чтении эту главу можно пропустить с тем, чтобы позднее, по мере надобности, обращаться к ней.
§ 11. Кратные интегралы.
Переход к полярным координатам
Мы будем называть областью любое открытое множество в пространстве действительных переменных х, у, .. . .
Как известно, двойной интеграл по плоской области G
1 = 11 у>) dx dy G
можно вычислять двумя последовательными однократными интегрированиями
d
I = J dy\jf(x, у) dx.
С
При этом внутреннее интегрирование по х производится по всем тем интервалам, которые образуются пересечением прямой у — ~ const с областью G. Что касается пределов интегрирования по у, то ими служат нижняя и верхняя грани координаты у для точек области G.
Точно так же (т + 7г)-кратный интеграл
1 = I ¦ ¦ ¦ I &'¦¦¦' Уп) ^х1. . . dxm dyx... dyn
G
можно вычислить двумя последовательными интегрированиями: сначала по х1У . . ., хт, а затем по yv . . уп\
1 • • • \dyl ¦ ¦ ¦ dy^\ • • • !/(*!'• • ->Хт>У1.yn)d*l- ¦ ¦>dxm¦ (!)
При этом область внутреннего интегрирования задается множеством тех значений переменных хх, . . ., хт, для которых соответствующие точки с фиксированными у1г .. ., уп принадлежат области G. Иными словами, область внутреннего интегрирования опреде шется темп же неравенствами, что и область G, с той только разницей, что переменными в этих неравенствах
§ 11. Кратные интегралы. Переход к полярным координатам 69
являются лишь величины xt. Областью интегрирования по У\> ¦ ¦->Уп является множество систем значений у1,...,уп, для которых существуют точки с координатами хг, . . хт, у1}..., уп, принадлежащие области О.
Замена переменных в кратном интеграле производится по формуле:
J • • • J /(«1-
G
=| • • • Г/(«1.........ип)
ип) dux. . . dun = 9(mi......«г,)
9(2-1,. . ., ХП)
dxx. . . dxn,
(2)
где O' — преобразованная область, а функциональный определитель, абсолютная величина которого входит множителем в правую часть (2), имеет своими элементами частные производные от щ по хк.
