Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Границы весовых
интервалов 35 40 45 50 55 60
Количество линий 4 2 0 2 3
Смешением этих одиннадцати почти нормальных распределений и объясняется форма найденного эмпирического распределения.
§ 16. Оценки функций распределения
При первом изучении этой главы § 16 и 17 можно пропустить. Понятия из этих двух разделов будут использоваться значительно позднее.
На основе соображений, которые в предыдущем параграфе были наглядно объяснены на примере с ивовыми листьями, Колмогоровым была построена точная теория. Сначала, с немощью выборки хи . . ., хп он определил эмпирическую функцию распределения Fn(t), значение которой в произвольной точке t равно эмпирической частоте события xt < I, т. е. равно количеству тех xt, которые меньше t, деленному на п. График эмпирической функции
1 Эта точка зрения не является общепринятой. — Прим. ред.
§ 16. Оценки функций распределения
87
распределения — это не та гладкая кривая, которую с наивным воодушевлением строили Кетле и его ученики, а ступенчатая ломаная линия со скачками, по величине равными д — 1/га во всех точках xt (рис. 13)1.
Спрашивается, насколько истинная функция распределения у = F(t) может отличаться от эмпирической функции у = Fn(t)? Мы исследуем сначала положительные отклонения F — Fn, а затем — отрицательные. В практических приложениях Fn задана, a F неизвестна; однако при теоретических исследованиях мы можем F(t) считать заданной, a Fn(t) — зависящей от случая, так как наблюдаемые значения хг, . . ., хп являются случайными величинами. Пусть А — максимум разности F — Fn\ требуется определить функцию распределения случайной величины А.
Относительно функции распределения F(t) мы не делаем никаких предположений, креме предположения о ее непрерывности. Так как непрерывное монотонное преобразование оси t не меняет разности F—Fn, то вместо t и х в качестве новых переменных можно выбрать
t' = F(t) и х' = F(x).
Это не изменит максимум А разности F—Fn. Если мы новые переменные снова обозначим t и х, то функция распределения будет иметь простой вид:
F(t) = t (0< i< 1). (1)
Следовательно, график функции распределения представляет собой диагональ единичного квадрата. Событие, при котором х примет значение либо меньшее 0, либо большее 1, является невозможным; поэтому мы можем положить (рис. 13):
Р и с. 13. Графики истинной и эмпирической функций распределения.
т =
0, если t О,
1, есл и t э= 1.
1 Согласно определению Fn(l), данному в тексте, в каждой точке
г — 1 _ г
х/ (г = 1,2,..., и) Fn (х,
- 0) = Fn(x{) ------------ н Fn (х, 0) - • - .
п п
г — 1
Fn(t) сохраняет постоянное значение------------;
D полусегменте Xj_x < t == х,
Fn(t) — 0 при t - .Tj и Fn(t) — ] при t > .rn. — Прим. ред.
п
S8 Гл. IV. Оценки функций распределения, средних значений и дисперсий
Плотность вероятности равна
I 1, если 0 < I < 1,
fit) =
) 0 в противном случае.
Графически эта функция у = f(l) изображается прямоугольником. Поэтому естественно таксе распределение называть прямоугольным распределением.
Мы хотим вычислить вероятность того, что А будет больше некоторой границы е. Так как, по предположению, все xlt . . ., хп независимы и одинаково распределены с плотностью вероятности /(/) — 1, то, согласно § 4 (теорема II), искомая вероятность Q равна тг-кратному интегралу
Q = j . . . f dxl dx„. . . dxn (2)
G
по области интегрирования G, определяемой неравенствами
О < хх < 1,. . ., О < хп < 1 и Л > е.
В дальнейшем для задания области интегрирования удобно ограничиться неравенствами
хг < х.2 < . . . < хп.
Эти неравенства задают лишь часть всей области G. Однако перестановкой х{ ее можно перевести в любую другую аналогично определяемую часть области интегрирования (например, в х2 < Xj < х3 < . . . < хп). Такие перестановки не меняют ни ступенчатой функции Fn, ни максимума Л. Все эти части области интегрирования имеют одинаковый объем и, следовательно, им соответствуют одинаковые вероятности. Граничной поверхности х,- = хк соответствует вероятность, равная нулю. Таким образом, искомая вероятность Q равна
Q = п\ д, (3)
где q — вероятность события
О < Хд < х2 < . . , < хп < \, Л > е. (4)
В каждой точке хк функция Fn(t) совершает скачок от (к— 1)6
