Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
я ,п
Q = 2 L ) Ф + Щ*1'1 (l-е- hby-\ (20)
I де
Верхний предел суммирования Н задается условием 1 — е —
— hS з= 0. Следовательно, Н является целой частью п( 1—е):
Я=[п(1-е)]. (22)
При больших п вычисление суммы (20) очень утомительно, поэтому для больших п лучше применять асимптотическую формулу, выведенную Н. В. Смирновым, согласно которой
Q~e-*“\ (23)
Для каждого п и для заданного /3 (например, /3 = 0,01 или /3 = 0,05) можно найти такую границу е, для которой Q. — /3. При малых п пользуются формулой (20), а при больших п — формулой (23). В табл, 4 для некоторых значений п и /3 указаны точные и асимптотические границы е, по Бернбауму и Тинги. Из этой таблицы видно, что уже при п = 50 точные и асимптотические границы мало отличаются друг от друга. Так как асимптотические границы больше соответствующих точных границ (см. табл. 4), то при любом конечном п вероятность того, что А превзойдет асимптотическую границу, будет меньше /3. Следовательно, за-
1 Точная формула для распределения Л при конечных п впервые дана Н. В. Смирновым в 1944 г. См. его статью «Приближение законов распределения случайных величин по эмпирическим данным», Усп. матем. паук, (10), (1944), 179—206. — Прим. перев.
9'2 Гл. IV. Оценки функций распределения, средних значений и дисперсий
мена точных границ асимптотическими изменяет доверительным интервал для Л в сторону увеличения его надежности.
Найденная граница е позволяет сформулировать односторонний критерий для проверки гипотезы, согласно которой функция распределения равна F(t). А именно если максимум Л разности F — Fn превосходит е, то предположение, что функция распределения равна F(t), должно быть отвергнуто. Этот критерий мы будем называть A-критерием. Уровень значимости 4-критерия равен уЗ.
Если величины х и t заменить на 1 — х и I — t соответственно, то разность F—Fn изменит знак, вследствие чего получится односторонний критерий с противоположной стороны: гипотетическую функцию распределения следует отвергнуть, если
Л' = max (Fn — F) > е.
Уровень значимости снова равен уЗ ~ е~2т\
Если этими двумя критериями воспользоваться одновременно, то получится двусторонний критерий Колмогорова. Согласно этому критерию, гипотетическая функция распределения отвергается, если максимум разности |F—Fn\ окажется больше е. Уровень значимости такого критерия, очевидно, не превосходит 2уЗ. При малых п вполне достаточно в качестве уровня значимости выбрать 2уЗ: это лишь увеличит надежность критерия1. При больших п приближенную формулу для уровня значимости можно уточнить,* воспользовавшись асимптотической формулой Колмогорова:
оо
2Д~2 2 (- 1У-1 е-2'5™’.
У=1
Этот ряд сходится очень быстро. Для практических целей можно ограничиться его первым членом
2е~2пе\
который соответствует грубому правилу, сформулированному выше. В табл. 5 указаны значения е для 2уЗ = 0,01 и 0,05.
Практически критерием Колмогорова пользуются следующим образом. Сначала определяют эмпирическую функцию распределения Fn(t). Загтем, при заданном уЗ, по табл. 5 находят е и строят полосу, границами которой служат ступенчатые линии с
1 Действительно, пусть P[max (F—= р, тогда, как показано
выше, P[min (F — Fn) < —е] = р. Если с помощью этого же е построить двусторонний критерий, то соответствующий уровень значимости будет
равен вероятности объединения событий: max(f — Fn) >? и mm(f — Fn) < < —?. Так как эти события не являются несовместными, то вероятность
их объединения меньше суммы их вероятностей, т. е. меньше 2/8. — Прим.
персе.
§ 17. Порядковые статистики
93
уравнениями у = Fn(t) + е и у = Fn(t) — е. Предположительно, эта полоса целиком накрывает истинную кривую распределения с уравнением у = F(t).
Литература к § 16
Kolmogoroff A., Determinazione empirica di urn legge di distri-buzione, Giomale Istit. Ital. Attuari, 4 (1933), 83.
Смирнов H. В., Об уклонениях эмпирической кривой распределения, Матем. сб., 6 (48), (1939), стр. 3.
Смирнов Н. В., Приближение законов распределения случайных величин по эмпирическим данным, Усп. матем. наук, (10), (1944), 179—206.
Feller W., On the Kolmogorov—Smirnov limit theorems for empirical distributions, Ann. Math. Statist., 19 (1948), 177.
Birnbaum Z. W. and Tinge у F. H., One-sided confidence contours for distribution functions, Ann. Math. Statist., 22 (1951), 692.
Birnbaum Z. W., pn the power of a one-sided test of fit for continuous probability functions, Ann. Math. Statist., 24 (1963), 484.
§ 17. Порядковые статистики
Пусть снова %,..., хп — выборка, состоящая из п независимых наблюдений случайной величины х с непрерывной функцией распределения F(t).
